Probar este magma conmutatividad

Question

Dado magma $(X, *)$ y $(x*y)*y = x$ y $y*(y*x) = x$ $\forall x, y \in X$ demostrar que $x*y = y*x$.

Debe ser bastante simple, pero he estado tratando de demostrar que por varias horas, ahora sin suerte. He estado probando muchas de las sustituciones en $x*y$$y*x$, pero no fue capaz de llegar a algo idéntico.

Answer 1

Esto es similar a la pregunta A1 en el 2001 Putnam Examen, a pesar de que la solución es un poco diferente. Sólo tienes que jugar un poco (o un mucho, si eres nuevo en este tipo de cosas):

Reivindicación 1: $(x\star y)\star x=y$ todos los $x,y\in X$. Prueba: Supongamos $x,y\in X$ ser arbitraria. A continuación, $(x\star y)\star y=x$ por supuesto. Ahora a la izquierda-multiplicar por $(x\star y)$ a ver que $(x\star y)\star((x\star y)\star y)=(x\star y)\star x$. Ahora aplica su segunda propiedad a la mano izquierda, con $(x\star y)$ tomando el papel de $y$, para ver que el lado izquierdo es en realidad la $y$. Por lo tanto $y=(x\star y)\star x$.

Ahora, desde la $(x\star y)\star x=y$ todos los $x,y$, simplemente multiplique a la derecha, por $x$ obtener $$((x\star y)\star x)\star x=y\star x$$

Utilice su primera propiedad con $(x\star y)$ jugando el papel de $x$ $x$ jugando el papel de $y$, ¡y listo!

Answer 2

En resumen: $$x*y=((x*y)*x)*x=((x*y)*((x*y)*y))*x=y*x$$