la solución de $\int \cos^2x \sin2x dx$

Question

$$\int \cos^2x \sin2x dx$$

$$\int \cos^2x \sin2x \, dx=\int \left(\frac{1}{2} +\frac{\cos2x}{2} \right) \sin2x \, dx$$

$u=\sin2x$

$du=2\cos2x\,dx$

$$\int \left(\frac{1}{2} +\frac{du}{4}\right)u \, du$$

Es el último paso es aceptar?

Answer 1

Desde $\sin 2x=2\sin x\cos x$ hemos $$\int\cos^2 x\sin 2x\,dx=\int 2\cos^3 x\sin x\,dx=-\frac{1}{2}\cos^4 x+C$$

Answer 2

La correcta substition es $u = \cos(2x)$, $du = -2\sin(2x)\,dx$, así que obtener $$\int(1/2 + u/2)(du/(-2)).$$

Answer 3

Utilizando la sustitución propuesto $u\leadsto\sin2x$ uno podría obtener $$\begin{align} \int\cos^2x\sin2x\,\mathrm dx&=\int\left(\dfrac12+\dfrac{\cos 2x}2\right)\sin 2x\,\mathrm dx\\ &=\int\dfrac{\sin 2x}2\,\mathrm dx+\int\dfrac{\sin 2x}{4}\underbrace{{2\cos 2x}\,\mathrm dx}_{\displaystyle\mathrm du}\\ &=\int\dfrac{\sin 2x}{2}\,\mathrm dx+\int\dfrac{u}{4}\,\mathrm du, \end{align}$$, que es la forma correcta.

Answer 4

Usted podría haber puesto $u=\cos 2x$, por lo tanto $ \mathrm d\mkern1mu u = -2\sin 2x\mathrm d\mkern1mu x$, de donde \begin{align*}\int\cos^2 x\sin 2x\,\mathrm d\mkern1mu x&=\int-\frac14(1+u)\,\mathrm d\mkern1mu u = -\frac14\Bigl(u+\frac{u^2}2\Bigr)\\ &=-\frac14\cos 2x-\frac18\frac{1+\cos4 x}2=-\frac14\cos 2x-\frac1{16}\cos 4x+C. \end{align*}

Answer 5

Estrategia General en estos casos (funciones trigonométricas, múltiplos de algunos ángulos) es para expresar todo en términos de $\sin x$$\cos x$, y tomar desde allí.