Por qué $y^2-x^3-x^2$ es irreducible?

Question

Deje $p(x,y)=y^2-x^3-x^2$ un polinomio en $\mathbb{C}[x,y]$. Cómo puedo probar que $p(x,y)=y^2-x^3-x^2$ es irreductible, como elemento de $\mathbb{C}[x,y]$?

Answer 1

Eisenstein criterio con respecto a $x+1$ debería funcionar.

Answer 2

Si una descomposición existe, debe ser de la forma $(y+f(x))(y+g(x))$, porque seguramente no polinomio sólo en $x$ o $y$ divide $y^2-x^3-x^2$. No es restrictiva a tomar los coeficientes de $y$ en los factores tanto igual a $1$. Esto le da a las ecuaciones \begin{gather} f(x)+g(x)=0\\ f(x)g(x)=-x^3-x^2 \end{reunir} es decir, $g(x)=-f(x)$ y $$ f(x)^2=x^3+x^2 $$ que no pueden ser satisfechas, porque el polinomio irreducible $x+1$ aparece con exponente $1$ en la descomposición de la $x^3+x^2$.

Answer 3

No del todo una respuesta a su pregunta, pero si se hace un gráfico de la ecuación de $p(x,y)=0$ en el caso de que $p=q_1q_2$, entonces su imagen va a ser la unión de $q_1=0$$q_2=0$. Mira el gráfico cuando el polinomio $p$ se establece en cero, y se ve que no contiene líneas.

Answer 4

Separar en $p(x,y) = F_3(x,y) + F_2(x,y)$ donde$F_3(x,y)= x^3$$F_2(x,y)= y^2-x^2$. Hay un teorema que dice que si un polinomio en $x$, $y$ es la suma de dos formas cuyo grado varía por 1, y las formas no lineal factor en común, entonces el polinomio es irreducible. Puesto que el $F_2(x,y)=(y+ix)(y-ix)$, vemos a $p$ debe ser irreductible.