De poincaré-como la desigualdad

Question

Me gustaría demostrar que no existe $C>0$ tal que

$$\| u \|^2_{L^2(B(0,1))} \leq C \left ( \| \nabla u \|^2_{L^2(B(0,1))} + \| u \|^2_{L^2(\partial B(0,1))} \right )$$

para cada $u \in C^\infty(\overline{B(0,1)})$ donde $B(0,1)$ es la unidad de la bola en $\mathbb{R}^2$.

Para mí esto se parece a una desigualdad de Poincaré, salvo que se compensa el hecho de que $u$ no pueden ser cero en el límite. Con esto en mente, he intentado manipular la versión de la desigualdad de Poincaré donde nos resta fuera de la media, por lo que se vería en esta situación. Con que puedo obtener un $C>0$ tal que

$$\| u \|^2_{L^2(B(0,1))} \leq C \left ( \overline{u}^2 + \| \nabla u \|^2_{L^2(B(0,1))} \right )$$

donde $\overline{u}$ es el promedio de $u$$B(0,1)$. Ahora me quedo atascado tratando de relacionar $\overline{u}$ $u$sobre el límite. Desde aquí me gustaría quieren mostrar que la $\overline{u}^2 \leq C \| u \|^2_{L^2(\partial B(0,1))}$. Pero que no puede trabajar, porque se podría tener un valor distinto de cero de la función que es cero en el límite pero estrictamente positiva en el interior. Por supuesto, en este caso el resultado se sigue de la desigualdad de Poincaré para $H^1_0$. Por lo que este resultado parece ser algo así como una interpolación entre la desigualdad de Poincaré para $H^1_0$ y la desigualdad de Poincaré para $H^1$ funciones, con una media de cero.

Alguna sugerencia?

Answer 1

Afirman que la contradicción: Por cada $k$ existe $u_k$ $\| u_k\|_{L^2(B)}=1$ y $$ \| \nabla u_k \|_{L^2(B)} + \| u_k\|_{L^2(\partial B)} \leq 1/k. $$ A continuación, $u_k\to 0$ débilmente en $H^1$, esto se contradice con el hecho de que el $u_k$ tiene una unidad de $L^2$ norma a través de Rellich del teorema de compacidad.