Demostrar que si $\sigma=\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{m}$ es un producto de ciclos disjuntos, entonces $\sigma^{lcm(length(\sigma _{1})\cdots length(\sigma_{m}))}=id=e$ .
Tengo problemas para intentar demostrarlo. Intenté primero afirmar el hecho de que el producto de ciclos disjuntos conmuta. Pero eso es todo lo que he conseguido hasta ahora. No estoy seguro de cómo conectar este hecho a la $lcm$ .
Como los ciclos son disjuntos, conmutan: $\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i$ para todos $i$ y $j$ . Esto significa que la ley de la potencia se mantiene: $\sigma^k=(\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_m)^k=\sigma_1^k\sigma_2^k\cdots\sigma_m^k$ . Así que si $\sigma_i^k$ es la identidad de todos los $i$ Así es $\sigma^k$ . Pero este será el caso si $k$ es un múltiplo de las longitudes de todos los ciclos, por lo que es un múltiplo de su lcm.
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Por lo tanto, usted está después de $\sigma^k=\sigma_{1}^k\sigma_{2}^k\cdots\sigma_{m}^k$ . ¿Cuál sería alguna condición en $k$ garantizando que $\sigma_{1}^k=e$ ? Garantizar que $\sigma_{1}^k=\sigma_{2}^k=\cdots=\sigma_{m}^k=e$ ? Así...