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Question

¿Cómo se puede demostrar que el polinomio $$x^4+x^3+3$$ es irreducible en a $\Bbb{Q}[x]$? Sólo sé criterio de Eisenstein, pero no se aplican directamente. Por supuesto he comprobado que no hay racional raíces - pero, ¿cómo puedo excluir que es un producto de dos polinomios cuadráticos irreducibles?

Answer 1

Un enfoque simple es la observación de que $x^4+x^3+3$ es irreductible modulo $2$. De hecho, $x^4+x^3+1\pmod{2}$ no tiene raíces en $\mathbb{F}_2$ y no es divisible por $x^2+x+1$.

Por lo tanto, su polinomio también es irreducible sobre los racionales.