Probar que esta función converge uniformemente.

Question

Me preguntaba si hay una forma más fácil de demostrar que esta secuencia de funciones converge uniformemente. También estoy casi $100 \%$ seguro de que mi razonamiento no es una prueba, así que sí, me ayuda por favor (no debe ser de otra forma).

$$f_{n}(z)=\frac{e^{-n|z| }}{n}$$ Con $z\in \mathbb{C}$

Pensé que ya esta secuencia tiende a cero, no importa cuál es el valor absoluto de a $z$ . Siendo este límite, el cero de la función en $\mathbb{C}$. La única manera de que tal vez romper la aparente convergencia uniforme es por la elección de $$f(z^*)$$ such that $$|z^*| = \ln\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}$$ so that $$f(z^*)=\frac{1}{1}$$ but in order to get this i would have to choose a natural $n$ such that the absolute value of $z^*$ is of course positive, and this would be a $$n tal que$$ 0<n^{\frac{1}{n}}< 1 $$so there is no$$ n que satisface esta condición.

Answer 1

Converge uniformemente a $f(z)=0$ debido a dado $\epsilon>0$, vamos a $N>1/\epsilon$, lo $\forall n>N$

$$|f_n(z)-f(z)|=|f_n(z)|=\left|\frac{e^{-n|z| }}{n}\right|=\frac{e^{-n|z| }}{n}\leq\frac{e^{-n0 }}{n}=1/n\leq 1/N<\epsilon$$

Answer 2

Desde $e^{-n|z|} \le 1$ todos los $z\in \Bbb C$$n\in \Bbb N$, $$\max_{z\in \Bbb C} |f_n(z)| \le \frac{1}{n}\quad (n = 1,2,3,\ldots)$$ lo que implica $(f_n)$ converge uniformemente a $0$.