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Cómo integrar con la fórmula de reducción?

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Integral} & \text{Reduction formula} \\ \hline\displaystyle I_{m,n}=\int\sin^max\cos^nax\,\mathrm dx & I_{m,n}=\begin{cases}-\tfrac{\sin^{m-1}ax\cos^{n+1}ax}{a(m+n)}+\tfrac{m-1}{m+n}I_{m-2,n}\\\tfrac{\sin^{m+1}ax\cos^{n-1}ax}{a(m+n)}+\tfrac{n-1}{m+n}I_{m,n-2}\end{casos} \\ \hline \end{array}$$

Cómo integrar la $(\cos x)^n\cdot(\sin x)^m$ con la fórmula de reducción. Los pasos por favor en términos de $(n-2,m)$ y en términos de $(n, m-2)$ como en la tabla que se muestra. Estoy atascado a mitad de camino.

Gracias

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Chantry Cargill Puntos 1985

Considere el ejemplo con $m = 3$$n= 2$.

Tenemos,

$$I_{m,n} = I_{3,2} = \int \sin^3(ax)\cos^2(ax) \,d x= -\frac{\sin^{3-1}(ax)\cos^{2 + 1}(ax)}{a(3 + 2)} + \frac{3-1}{3 + 2}I_{1,2}.$$

Aquí he aplicado la primera fórmula de reducción. No he reducido el resultado lo suficientemente lejos para estar completa. Sin embargo, ahora puedo continuar hasta que el $I_{1,2}$ plazo desaparece. Tal vez de aplicar la segunda reducción de la próxima?

Cada ejemplo se puede proceder de esta manera. Debe de forma iterativa aplicar la fórmula hasta que la integral desaparece o se convierte en uno que sabe cómo manejar.

Como un aparte para $m \ge 3$ usted también puede hacer uso de la identidad de $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$,

$$\int sin^m(ax) \,d x = \int \sin^{m-2}(ax)(1-\cos^2(ax)) \,d x .$$

Además, el ángulo doble sustituciones pueden ser de utilidad.

Estos son $$\cos^2(x) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2x))$$ and $$ \sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x)).$$

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