$f(x) = k^n$ infinitamente muchos enteros $k$

Question

Deje $f(x)$ ser un polinomio de $n^{th}$ grado con coeficientes enteros y dejar que el líder coeficiente de ser 1. Es cierto que $f(x) = k^n$ infinitamente muchos enteros $k$ $x$ si y sólo si todas las raíces de $f(x)$ son iguales?

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Uno de los lados de la prueba es bastante simple. Si todas las raíces de $f(x)$ son iguales, $f(x) = (x-x_1)^n$ donde $x_1$ es la raíz de $f(x)$

Ahora tengo problemas con el otro lado. No sé cómo empezar. Me puse a buscar en casos especiales y me lo demostró para $n=2$. Deje $f(x) = x^2 + ax + b$. A continuación, las raíces se $x_1 = \frac{-a + \sqrt{D}}{2}$ $x_2 = \frac{ -a - \sqrt{D}}{2}$

A continuación,$f(x) = (x-x_1)(x-x_2)$. Ahora establezca $f(x)$ $k^2$y tenemos:

$$(2x + a + \sqrt{D})(2x + a - \sqrt{D}) = (2k)^2$$ $$(2x + a)^2 - D = (2k)^2$$

Desde $D$ es un número fijo para algunos lo suficientemente grande como $x$ tendremos:

$$(2x+a - 1)^2 < (2x+a)^2 - D < (2x+a+1)^2$$

Por lo tanto $(2x+a)^2 - D = (2x +a)^2 \implies D=0 \implies x_1 = x_2$

Pero estoy atascado para $n=3$ y, más generalmente, usted no puede utilizar este método cuando el grado de $f(x)$ es mayor que 4, ya que no hay una fórmula explícita para las raíces de $f(x)$

Answer 1

Respuesta : La única polinomios $f$ para que el $f(x)$ es una k-ésima potencia de un número infinito de números enteros son los polinomios de la forma $f(x)=(x+k)^n$.

Supongamos que, $f(x)=x^n+\sum_{i=1}^N f_i x^i, f_0=1$

En primer lugar, existe dos enteros positivos $a$ $b$ tal que para mayor $x>A$ tenemos $(x-b)^{n}\leq f(x)\leq (x+a)^{n}$ (para probar esto basta para pasar a través de los coeficientes y toma un entero $a$, lo que hace que $\dbinom n k a^{n-k}$ mayor que el de los coeficientes y de la misma cosa para $b$)

Así que vamos a $N$ ser una muy mayor entero tal que $N>\max(2^{n+1}(\max(a,b))^n,A,2|f_i|)$ $f(N)$ $n$th poder que tenemos : $$f(N)=(N+k)^n $$ para algunos $-b\leq k\leq a$, y sabemos que todo número entero tiene un único escrito de la forma: $$a_kN^{k}+a_{k-1}N^{k-1}+\cdots+a_1N^1+a_{1} $$

donde $|a_i|\leq N/2$ Pero: $$f(N)=\sum_{i=0}^{n}f_iN^n=\sum_{i=0}^{N}\dbinom n i k^{n-i}N^{i}$$ $|f_i|\leq N/2$ $|\dbinom n i k^{n-i}|\leq \max(a,b)^n2^n\leq N/2$

llegamos a la conclusión de que $f_i=\dbinom n i k^{n-i}$ $f(x)=(x+k)^n$

Tenga en cuenta que este método es bien conocido por este algoritmo:Polinomio determinada por dos entradas, este problema tiene un montón de generalización que no puede ser resuelto mediante este método, vea mi pregunta aquí.