Demuestra que el coeficiente binomial es congruente con 0 mod p.

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo, y que $k$ sea un número entero tal que $0<k<p$ . Demostrar que el coeficiente binomial ${p\choose k}\equiv 0\pmod p$ .

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Tenemos

$$(p-k)!k!\binom{p}{k} = p!=p(p-1)!$$ pero $\gcd\left(p,(p-k)!k!\right)=1$ así que por el El lema de Euclides $p|\binom{p}{k}$ .

Answer 2

Una pista: $$ \binom{p}{k} = \frac{p!}{(p-k)!k!} = p \cdot \frac{(p-1) \cdot (p-2) \cdots (p-k+1)}{k!} $$

Sugerencia $^2$ : $$ \binom{p}{k} \text{ is an integer, and } p \text{ is prime so } k! \not\mid p $$

Answer 3

Hay $p$ sillas dispuestas uniformemente alrededor de una mesa circular. Queremos elegir $k$ de ellos.

Decimos que dos de estas opciones $A$ y $B$ son equivalente si $B$ se puede obtener de $A$ por una rotación. Como $p$ es primo, si $k$ es diferente de $0$ o $p$ precisamente hay $p$ opciones que son equivalentes a $A$ .

Así, el conjunto de opciones de $k$ los elementos pueden dividirse en familias (clases de equivalencia), cada una de ellas de tamaño $p$ . Se deduce que el número de opciones es divisible por $p$ .

Answer 4

Pistas:

$$\binom pk=\frac{p!}{k!(p-k)!}=\frac{(p-k+1)(p-k+2)\cdot\ldots\cdot \overbrace{(p-1)}^{=p-k+(k-1)}}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot k}\cdot p$$

Pero lo anterior es un número entero, y $\;k<p\;$ ...