¿Por qué "Todos los caballos tienen el mismo color", considerada como una falsa prueba por inducción?

Question

Tras la lectura de Todos los caballos tienen el mismo color de "paradoja", comencé a preguntarme un par de cosas.

Primero de todo, me la paso inductivo parece errónea. Sólo porque he a $n$ caballos blancos, ¿ no significa que el $n+1$ será de color blanco, también.

La única explicación para hacer el inductivo trabajo de paso a mí me parece que la declaración real que estamos asumiendo como base el caso de que no "hay, al menos, $n$ caballos del mismo color", sino "$P(n)$ = cualquier agrupación de $n$ caballos es tal que todos los caballos en que la agrupación tiene el mismo color".

Ahora, esto hace que el paso inductivo funciona, pero es completamente inútil, ya que el $P(2)$ ya implica que todos los caballos tienen el mismo color.

Y, por supuesto, el caso base $P(2)$ es no verdadero, porque es equivalente a nuestro problema. Configuración para probar $P(2)$ es lo mismo que probar que todos los caballos tienen el mismo color.

Así que yo no puedo entender por qué esto ha sido considerada como una "falsa" la prueba por inducción; el inductivo paso no funciona o es completamente inútil.

La página de la wikipedia vinculados antes de que explica el problema como

El problema en el argumento es la suposición de que debido a que cada uno de estos dos conjuntos contiene sólo uno de los colores de los caballos, el conjunto original también contenía un solo color de los caballos. Porque no hay común elementos (caballos) en los dos conjuntos, se desconoce si los dos caballos comparten el mismo color.

Que no tiene ningún sentido para mí.. Es como mirar el dedo en lugar de que en la luna.

Hay algo mal con mi comprensión de la inducción?

Editar

Es cierto que, en el caso base es $P(1)$ e no $P(2)$. Pero el punto sostiene;la implicación sólo necesitamos es $P(1) \implies P(2)$. Todas las posteriores consecuencias son inútiles; una prueba de este tipo rara vez se denomina prueba por "inducción". De lo contrario, todas las pruebas por inducción! :)

Lo que es aún el punto de establecer cuáles $P(n)$ es? Acabo de probar a $P(2)$ y el uso como el conocido hecho de $P(1)$ como lo haría con cualquier otro hecho conocido.

Edit 2

Ya ha habido algo de confusión acerca de lo que te pedí, voy a explicar mi proceso de pensamiento:

1) Empezar la lectura de la prueba. Imagino que la declaración es "P(n) = al menos n los caballos tienen el mismo color", y si por inducción en $n$ esta retención para cada $n$, QED.

2) Realizar el paso inductivo no funciona

3) Entender que la proposición a ser probada se ha (silencio) cambiado y ahora es "P(n) = cualquier agrupación de $n$ caballos es tal que todos los caballos en que la agrupación tiene el mismo color"."

4) darse Cuenta de que $P(2)$ es lo que queremos demostrar.

5) se Preguntan por qué en la tierra estamos tratando de mostrar a $P(n)$$n > 2$. La inducción de la prueba generalmente funciona porque la declaración final se ha demostrado provienen del hecho de que funciona para todos los $n$. Aquí $n=2$ suficiente, por lo que es realmente extraño.

6) Empezando a pensar que me he perdido de algo aquí. Pero bueno, es una falsa prueba, vamos a ver lo que estaba mal.

7) resulta que el esquema de la prueba está bien, pero aquí está el truco: de todas las implicaciones $P(1) \implies P(2)$ no es válido por lo tanto el conjunto de la $P(n)$ no puede ser válido.

8) Pensar (de nuevo) de que este parece raro. Pregunto si he perdido algo .

A través de una extensa discusión resulta que mi comprensión de la inducción fue a la derecha. Esto me llevó a creer que es un mal ejemplo porque "parece" como una prueba por inducción pero realmente algunos elementos esenciales que no están presentes. No es que está mal (aparte de la implicación), es que da una muy mala idea de lo que es una prueba por inducción es

Answer 1

El defecto radica en la frase "el primer caballo en el grupo es del mismo color que el de los caballos en el medio, que a su vez son del mismo color que el último caballo".

Al $n=2$, esto no se aplica ya que no hay caballos "en el medio", de ahí el "primero" y "último" los caballos no tienen que ser del mismo color.

Por lo $P(1)$ mantiene, y $P(n)$ implica $P(n+1)$, pero siempre $n>2$: esto es suficiente para arruinar el argumento.

Answer 2

Sí, demostrando $P(2)$ es lo suficientemente bueno y que realmente no necesita de inducción. El problema es que $P(2)$ es falso. La inducción argumento está ahí para ocultar este hecho haciendo referencia a un genérico $n$ y con la esperanza de que el lector no se da cuenta de que el argumento general falla por $n=2$. Por eso es una falsa prueba por inducción.

Answer 3

Es muy común que las falsas pruebas por inducción implican un defecto de la base de casos, por lo que una forma de desentrañar el argumento es el uso de la base de caso en el paso inductivo y ver si el argumento tiene sentido para ese caso.

En primer lugar, excluir el último caballo y mirar sólo en el primer n de los caballos; todos estos son del mismo color ya que n los caballos siempre son del mismo color. Asimismo, excluye el primer caballo y mirar sólo en el último n de los caballos. Estos también deben ser también del mismo color. Por lo tanto, el primer caballo en el grupo es del mismo color que el de los caballos en el medio, que a su vez son del mismo color que el último caballo. De ahí que el primer caballo, mitad caballos, y el último caballo son todos del mismo color, y hemos demostrado que:

Para el caso base es $n=1$, e $n+1 = 2$.

Es cierto que el primer caballo tiene el mismo color que el primero y el segundo caballo tiene el mismo color que el segundo. Pero el problema es que cuando el argumento se refiere a los "caballos de en medio," no hay ningún tipo de caballos para $n=2$. Sólo tiene el primer caballo y el último caballo. Aquí es donde el argumento falla.

Answer 4

No es todo el punto de inducción que si la inducción es cierto, a continuación,$P(m) \implies P(n)$$n \geq m$? Formalmente el uso de $P(2)$ y consigue $P(n)$, se tendría que establecer la inducción, y que suena como usted está asumiendo una declaración acerca de la transitividad de que iba a probar con la inducción (aunque de una manera bastante fácil de inducción).

Usted parece pensar que esto es una mala o defectuosa de ejemplo de la inducción, porque $P(2) \implies P(n)$ para demostrar, de $P(2)$ es suficiente, pero creo que si $P(2) \not\implies P(n)$, entonces este sería un terrible caso de la inducción, porque ni siquiera se puede inducción. De hecho, en cierto sentido, este es un "clásico" en caso de inducción a partir del hecho de que el valor de verdad de $P(n)$ realidad, depende de que en los casos anteriores, por lo que se construyen a partir de los casos anteriores para obtener el siguiente caso, por lo que si $P(2)$ es tu caso base en el futuro todos los casos debe ser construido a partir de $P(2)$.