Inversa multiplicativa del polinomio revisada

Question

Como suele ocurrir con las preguntas para una tercera persona... No lo haces bien la primera vez.

Pregunta que hice aquí es la siguiente:

Dejemos que $A(x)$ sea un polinomio con coeficientes enteros. ¿Siempre hay un polinomio $B(x)$ para lo cual

$$A(x)\cdot B(x)\equiv 1\pmod n$$

(para un número entero dado $n$ ). Si la respuesta no es afirmativa, una respuesta "sí si $n$ es ____ (rellenar con una característica que debe tener el número" también sería interesante. Por supuesto, el no también es una respuesta.

Esta pregunta está en la pista de lo que me interesa, sólo no tiene el ingrediente clave, el mod (por eso resultó trivial).

El verdadero asker de la pregunta se olvidó de mencionar el ingrediente clave para mí, sin embargo. La multiplicación en esa congruencia no es la ordinaria. Se hace en $\mathbb{Z}(\mathbb{R})/(x^N-1)$ , por lo que debería decir

$$A(x)\cdot B(x) \text{ mod } (x^N-1) \text{ mod } n = 1$$

en una notación mod un poco abusada. No he editado la pregunta original, ya que la gente ya dio la respuesta correcta a esa pregunta tal y como estaba planteada. Por lo tanto, la pregunta sigue abierta - ¿hay un $B$ por cada $A$ ¿Ahora en esta forma de multiplicación?

Answer 1

Si $n=4$ y todos los coeficientes de $A(x)$ son pares, entonces todos los coeficientes de $A(x)\cdot B(x)$ será par, por lo tanto no es 1 módulo $n$ .

Esto sigue siendo cierto si los coeficientes de $A(x)$ tienen algún factor común, que divide $n$ .

Answer 2

Una condición necesaria y suficiente para la existencia de dicho polinomio $B(x)$ es la siguiente: Para cada divisor primo $p\mid n$ debemos tener la condición de que en el anillo $\mathbb{Z}_p[x]$ tenemos $\gcd(\overline{A}(x),x^N-1)=1$ . Aquí la notación $\overline{A}(x)$ significa el polinomio $A(x)$ con todo su coeficiente proyectado hacia el campo $\mathbb{Z}_p$ (que también puede llamarse reducción modulo $p$ ). Porque $\mathbb{Z}_p$ es un campo, este d.c.g. se puede calcular utilizando el algoritmo euclidiano habitual de los anillos polinómicos.

La necesidad de esta condición es clara. Si para algunos $p\mid N$ tenemos que $\gcd(\overline{A}(x),x^N-1)=d(x)$ para algún polinomio $d(x)$ que no es una constante, entonces ese mismo factor $d(x)$ será un factor módulo $p$ de $A(x)B(x)$ incluso si se resta un múltiplo de $x^N-1$ (Cielos, sería mucho más fácil y claro decir esto en el lenguaje de los anillos de cociente). Así que $A(x)B(x)$ módulo reducido $p$ y $x^N-1$ será una no-constante. A fortiori, lo mismo ocurrirá si sólo reducimos el módulo $n$ .

La suficiencia es un poco más complicada, y depende de una versión fácil del levantamiento de Hensel y del Teorema del Resto Chino. Si quieres puedo intentar explicarlo con más detalle