Los productos normales de los grupos con la máxima nilpotency clase

Question

Deje $H$ ser un nilpotent grupo de clase $a$ $K$ un nilpotent grupo de clase $b$. Si $H$ $K$ son subgrupos normales de un grupo de $G$, entonces sabemos que $HK$ es normal nilpotent subgrupo de $G$ $HK$ clase $\leq a+b$.

Podemos siempre encontrar ejemplos en los que este límite superior se alcanza? Que es: dado $a$$b$, podemos siempre encontrar grupos $H$, $K$ y $G$ tal forma que:

• $H$ es nilpotent de clase $a$
• $K$ es nilpotent de clase $b$
• $H$ $K$ son subgrupos normales de $G$, e $HK$ es nilpotent de clase $a+b$

Creo que esto es posible cuando se $b = 1$. Deje $G = D_{2^{a+2}} = \langle x, y: x^2 = y^{2^{a+1}} = 1, xyx^{-1} = y^{-1} \rangle$ ser el diedro grupo de orden $2^{a+2}$. Deje $H = \langle x, y^2 \rangle \cong D_{2^{a+1}}$$K = \langle y \rangle$. A continuación, $H$ $K$ son subgrupos normales de $G$, $H$ tiene clase $a$, $K$ tiene clase $1$ $HK = G$ clase $a+1$.

Answer 1

He hecho algunos progresos con este. Estoy prácticamente seguro que la respuesta es sí, y que podía producir un ejemplo para cualquier tamaño razonable, $a$ $b$ pero no estoy seguro de ser capaz de demostrarlo.

Corregir algunos $n$ y deje $G$ ser un Sylow 2-subgrupo de $S_{2^n}$. Por lo $G$ es un iterado corona de producto de grupos cíclicos de orden 2. El (nilpotency) clase de $G$$2^{n-1}$. Ha $n$ generadores, que nos puede llevar a ser $g_1=(1,2)$, $g_2=(1,3)(2,4)$, $g_3=(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$, $\ldots$, $g_n=(1,2^{n-1}+1)(2,2^{n-1}+2)\cdots(2^{n-1},2^n)$.

Para $1 \le i \le n$, vamos a $H_i$ ser el normal de cierre de $g_i$$G$. A continuación, $H_i$ clase $2^{i-2}$ (a excepción de la clase de $H_1$ es 1). Más generalmente, si $S$ es cualquier subconjunto de a $\{1,2,\ldots,n\}$, luego los de la clase de la normal de cierre en la $G$ $\{g_i : i \in S\}$ es la suma de las clases de $H_i$$i \in S$. Soy moderadamente seguro de que podría demostrar las afirmaciones si es obligado!

Por lo tanto, si el binario expansiones de $a$ $b$ no tienen 1s en la misma posición, entonces podemos resolver el problema con estas normal de cierre. Por ejemplo, si $a=11$, $b=20$, a continuación, tomamos $n=6$, y los subgrupos $\langle H_2,H_3,H_5 \rangle$, $\langle H_4,H_6 \rangle$, que han clases 11 y 20, y de que su producto tiene clase 31.

En el caso general, estoy convencido de que siempre podemos resolver el problema en un cociente de alguna de esas $G$ por un término que en su parte inferior central de la serie, y no he tenido ninguna dificultad para hacer esto para un montón de diferentes valores de $a,b$, pero no estoy seguro de ser capaz de demostrar que esto no siempre es posible.

Answer 2

No, no siempre. Tome $H,K$ abelian, ${\rm gcd}(|H|,|K|)=1$. A continuación,$H\cap K=1$, lo $HK$ es abelian también.

(Esto es cierto también para nilpotent grupos de coprime órdenes.)

Addendum: Esta no es la respuesta completa (gracias a Jack Schmidt).