La razón por la que la transformada de Fourier es útil en el Pde (de coeficientes constantes) es que transforma a las ecuaciones diferenciales, para ecuaciones algebraicas a través de la correspondencia $\partial_i \leftrightarrow i \xi_i$.
Pero para que esta correspondencia para hacer sentido riguroso, su función debe admitir suficientemente numerosos derivados. Esto es particularmente importante cuando se intenta utilizar la primera de sus dos transformaciones. Más precisamente, en lugar de considerar las funciones en el intervalo de $[0,1]$, la adecuada lo que hay que pensar es que las funciones son funciones de la unidad de círculo $\mathbb{T}$, con suficiente periodicidad construido en.
¿Por qué es esto importante? Suponga que la función de $f$ no es periódica, por lo que el $f(0) \neq f(1)$. Ahora trate de calcular la serie de Fourier de $\hat{f'}(n)$ y se compara con la serie de Fourier $i n \hat{f}(n)$. (Un buen ejemplo sería el de dientes de sierra wave: $f(x) = x$$(0,1)$. Su derivada es simplemente la constante de la función.) Van a ser diferentes. La diferencia está en el hecho de que, formalmente, debido a la discontinuidad cuando intenta extender $f$ por periodicidad, usted va a recoger un factor adicional de un $\delta$ función de apoyo en el punto de discontinuidad. Cuando se multiplica por $in$, esto se reflejará en la expresión. Pero al calcular la serie de Fourier de $f'$, que la delta de Dirac no está incluido!
Tenga en cuenta que esto no es simplemente una "dificultad técnica". Considere la ecuación del calor $\partial_t u =\partial^2_{xx}u$$(0,1]$. Si usted lo considera como una ecuación en el círculo unidad $\mathbb{T}$, el círculo no tiene límites, y no las condiciones de contorno se prescribe. Una inicial de los datos de los dientes de sierra de la onda finalmente convergen en el límite de $u_\infty(x) = \frac12$. Pero si consideramos la ecuación en el intervalo, entonces sería necesario para prescribir las condiciones de contorno. Y si las condiciones de frontera están dadas para ser$u(t,0) = 0$$u(t,1) = 1$, entonces la constante de tiempo de la función $u(t,x) = x$ resuelve la ecuación del calor con estas condiciones de contorno. (Y esta solución enfáticamente no converge a $u_\infty$.) (Si usted acaba de solicitar la serie de Fourier, sin pensar en el subyacente real de dominio y sus condiciones de contorno, el método de Fourier producirá la misma solución que la que obtendría en el caso de $\mathbb{T}$. )
Para repetir lo que Jonas Teuwen dijo en su comentario: la elección de si se utiliza la serie de Fourier o la transformada de Fourier se basa generalmente en el dominio de la función. Si su función está definida en un periódico de fondo $\mathbb{T}^n$ ($n$- dimensiones toro), entonces usted debe utilizar las series de Fourier. Si su función está definida en $\mathbb{R}^n$, se debe utilizar la transformada de Fourier. (Si su función es parcialmente periódico, decir $f:\mathbb{R}^{d_1}\times \mathbb{T}^{d_2} \to \mathbb{C}$, entonces usted puede tomar la transformada de Fourier transform en la primera $d_1$ coordinar las variables, y la transformada de Fourier de la serie en los últimos $d_2$ coordinar las variables. )
