Si para alguna posición M

Question

Deje $S$ ser la bola unidad cerrada en $\mathbb{R}^3$ de centro $(0,0,0)$. Deje $f$ ser una función derivable en un barrio de $S$ con valores en $\mathbb{R}$. Muestran que, si $|f(a)| \leq1$ todos los $a\in S$, entonces no existe $x\in\text{int}(S)$ $\Vert \nabla f(x)\Vert<4$ donde $\nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z)$ es el gradiente.

Me gustaría una SUGERENCIA, no una respuesta completa.

Answer 1

Es un poco difícil. Voy a tratar de dar algunos consejos. En primer lugar, si $f(0,0,0)=-1$, entonces usted está listo (por qué?). Así que supongamos $f(0,0,0)>-1$. Ahora definir

$$g(x,y,z) = f(x,y,z) - 2(x^2+y^2+z^2).$$

Argumentan que $g$ alcanza su máximo en $S$ a un punto interior, y completar la prueba desde aquí.