Probar que cada espacio vectorial tiene una base

Question

Mi libro de texto amplió la siguiente prueba para mostrar que cada espacio vectorial, incluyendo el caso de la dimensión infinita, tiene una base.

Condición: $S$ es un subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial $V$ .
Teorema: Hay un máximo subconjunto linealmente independiente de $V$ que contiene $S$ .

Prueba. Deje que $F$ ser la familia de todos los subconjuntos linealmente independientes de $V$ que contiene $S$ . Si $C$ es una cadena en $F$ y existe un miembro $U \in F$ que contiene cada miembro de $C$ por el principio máximo, $U$ es el elemento máximo de $F$ la familia de todos los subconjuntos linealmente independientes de $V$ . Como resultado, $U$ es el máximo subconjunto linealmente independiente de $V$ . Así que $U$ es la base de $V$ .

Deje que $U$ ser la unión de los elementos de $C$ . Claramente $U$ contiene cada elemento de $C$ . Para mostrar que $U$ es un subconjunto linealmente independiente de $V$ primero note que $S \subset U$ . Deje que $u_1, u_2, \ldots , u_n$ ser vectores en $U$ y $c_1, c_2 ... c_n$ ser escalares de tal manera que $0 = \sum_ {i=1}^{n} {c_i}{u_i}$ . Porque $u_i \in U$ para todos $i$ existen conjuntos $A_i$ en $C$ de tal manera que $u_i \in A_i$ . Desde $C$ es una cadena, hay un conjunto, digamos $A_k$ que contiene todos los demás. Así que $u_1, u_2, \ldots , u_n \in A_k$ . Pero desde que $A_k$ es linealmente independiente, $c_i = 0$ para todos $i$ . Por lo tanto, $U$ es linealmente independiente. Por el principio máximo, $U$ es el elemento máximo de $F$ . $ \square $

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Mis preguntas son las siguientes:

1. ¿Argumenta el autor que, como cada espacio vectorial tiene una base, el espacio vectorial de dimensiones infinitas también tiene una base? Esto es similar a decir que $ \lim_ {n \rightarrow \infty } a_n = 0$ si $a_n = 0$ para todos $n$ .

2. ¿Cómo es que el autor está comprobando una cadena $C \in F$ sólo? Pensé que el principio de máxima requiere que el elemento de máxima contenga todos los miembros de cada cadena.

3. Todavía no estoy seguro de cómo $u_1, u_2, \ldots , u_n$ son escogidos. El mayor número de vectores en un subconjunto linealmente independiente no puede exceder $ \dim (V)$ pero eso es asumiendo que $V$ tiene una base. Así que, ¿cómo sabe el autor lo que el número finito $n$ es?

4. Cuando el autor está asignando $u_i$ a $A_i$ el conjunto $\{A_i\}$ no es todavía una cadena. Pero el $A_i$ puede ser reorganizado para formar una cadena. Por ejemplo, $u_1 \in B_1$ , $u_1, u_2 \in B_2, \ldots ,$ y $u_1, u_2, \ldots , u_n \in B_n$ .

Answer 1

Si lo has citado con precisión, es un poco confuso. El principio máximo en realidad dice que hay es una cadena máxima $C$ en $F$ y es el que el autor procede a considerar. (Puede haber más de uno, pero cualquiera de ellos servirá.) Si $U \in F$ contiene cada miembro de $C$ Entonces $C \cup\ {U\}$ es una cadena en $F$ y claramente $C \subseteq C \cup\ {U\}$ así que por la maximización de $C$ debemos tener $C=C \cup\ {U\}$ y por lo tanto $U \in C$ . Claramente, entonces, no puede haber ningún $M \in F$ de tal manera que $U \subsetneqq M$ desde entonces $C \cup\ {M\}$ sería una cadena estrictamente más grande que la cadena máxima $C$ . Así, $U$ es a elemento máximo de $F$ ; en general no es el elemento máximo de $F$ porque en general $F$ no tiene ningún elemento máximo único.

El resto del párrafo es mejor: es simplemente una prueba de que si ponemos $U= \bigcup C$ Entonces $U \in F$ . Ya que obviamente este $U$ contiene cada miembro de $C$ que establece (por el argumento anterior) que $U$ es un elemento máximo de $F$ . Probando eso $U \in F$ sólo requiere establecer que $U$ es linealmente independiente. Para ello, debemos mostrar que cada subconjunto finito de $U$ es linealmente independiente: esa es la definición de independencia lineal para conjuntos infinitos. El autor $\{u_1, \dots ,u_n\}$ es simplemente un subconjunto finito arbitrario de $U$ . Entonces cada uno $u_i$ pertenece a algún miembro $A_i$ de la cadena $C$ . Porque $C$ es una cadena, sabemos que estos conjuntos $A_1, \dots ,A_n$ están anidados, y no hay ningún daño en asumir que los hemos numerado para que $A_1 \subseteq A_2 \subseteq\ldots\subseteq A_n$ . Luego $\{u_1, \dots ,u_n\} \subseteq A_n$ y $A_n$ es un conjunto linealmente independiente, así que $\{u_1, \dots ,u_n\}$ también es linealmente independiente, como se desea.

Answer 2

1) El autor argumenta la existencia de un subconjunto máximo linealmente independiente de un espacio vectorial $V$ . Su argumento se aplica a cualquier espacio vectorial, y es irrelevante si $V$ es de dimensiones finitas. Todavía no ha probado la existencia de una base, porque es necesario un argumento adicional para demostrar que un subconjunto máximo linealmente independiente de un espacio vectorial es de hecho una base.

(2) La cadena $C$ es una cadena arbitraria en $F$ . El objetivo del autor es mostrar que cada cadena en $F$ admite un límite superior en $F$ . El lema de Zorn dice que un conjunto parcialmente ordenado no vacío admite un elemento máximo si cada cadena del conjunto admite un límite superior en el conjunto.

3) El autor ha construido un conjunto $U$ la unión de los conjuntos en $C$ y está tratando de mostrar que es un elemento de $F$ . Por definición, $F$ consiste en todos los subconjuntos linealmente independientes de $V$ . Así que el autor debe mostrar que el conjunto $U$ que se ha construido es, de hecho, linealmente independiente. ¿Qué significa independencia lineal? Significa que no hay relaciones lineales no triviales entre los vectores en $U$ . Para mostrar que esto se mantiene, uno debe tomar un subconjunto finito arbitrario de $U$ digamos que el subconjunto que consiste en los vectores $v_1, \ldots ,v_n$ y probar que si hay escalares $c_1, \ldots ,c_n$ con $ \sum_i c_iv_i=0$ Entonces $c_i=0$ para todos $i$ . Estos vectores son elementos arbitrarios de $U$ . No son "elegidos". El número entero $n$ sólo te dice el número de vectores en el subconjunto de $U$ . Pero esta independencia lineal tiene que ser verificada para cada subconjunto finito de $U$ así que cada subconjunto de cardinalidad $n$ para cada entero $n \geq 0$ . El número entero $n$ no es elegido. Es sólo una anotación. Así es como se comprueba la independencia lineal. No se puede hablar de dimensión porque aún no se ha probado la existencia de una base.

(4) Cada uno $u_i$ está en $U$ y $U$ es la unión de los conjuntos en $C$ así que por definición, para cada $i$ hay un conjunto $A_i \in C$ de tal manera que $u_i \in A_i$ . La cadena es $C$ y los conjuntos $A_i$ son elementos de $C$ .

Por cierto, tal vez no entiendo la formulación del lema de Zorn que se está usando, lo que se está llamando el principio máximo, pero la segunda frase del extracto, así como la frase final, no tienen sentido para mí. El lema de Zorn permite concluir la existencia de un elemento máximo demostrando que cada cadena tiene un límite superior. El límite superior que uno prueba que existe no va a ser normalmente un elemento máximo del conjunto. El autor prueba que el conjunto $U$ es un límite superior en $F$ para $C$ así que por el lema de Zorn, hay un elemento máximo de $F$ pero no tiene por qué tener nada que ver con $U$ .

La respuesta de Brian M. Scott me aclara qué "versión" del lema de Zorn se está usando, lo que normalmente se llama el principio máximo. Pero la carne del argumento es la misma tanto si se trata de usar el lema de Zorn como el principio máximo, y en cualquier caso, la segunda y última frase del extracto no tiene sentido.

Answer 3

Aquí hay algunas respuestas a sus preguntas:

1. Esto no es como decir que si el límite es $0$ entonces todos los elementos de las secuencias son cero. Esto es como decir que si todos los números naturales son números racionales, entonces en particular $0$ es un número racional.

   Es decir, decimos que si todos Los espacios vectoriales tienen una base, luego los espacios vectoriales infinitamente dimensionales (que son de hecho espacios vectoriales) tienen una base.

2. El autor no busca sólo una $C \subseteq F$ (no $ \in $ por cierto). No especificamos qué $C$ que tomamos; $C$ es arbitraria. Por lo tanto, esto, si es cierto, se mantiene para todos las cadenas en $F$ .

   En el espíritu de las analogías anteriores, si elegimos un número natural arbitrario $n$ y mostramos que $n$ es racional, entonces podemos concluir que cada El número natural es racional.

3. No. No usamos una base. Usamos el hecho de que si un conjunto de vectores es no linealmente independiente, entonces hay un subconjunto finito que lo exhibe. Esto se debe a que por su definición las combinaciones lineales son combinaciones finitas, así que si hay una combinación lineal no trivial que da $0$ sólo involucra un número finito de vectores.

4. Ahora, ya que sólo tenemos un número finito de vectores, y todos ellos aparecen en algún lugar de nuestra cadena $C$ hay algo de $A_i \in C$ que los contiene a todos. Esto se debe a que $C$ es una cadena, y $U$ es la unión de todos los conjuntos de esa cadena. Por lo tanto, si $u_i \in U$ hay algunos $A_i \in C$ de tal manera que $u_i \in A_i$ . Como sólo tenemos un número finito de vectores relevantes, podemos elegir $A_i$ para cada uno $u_i$ .

   La colección $\{A_i \mid i=1, \ldots ,n\} \subseteq C$ . Deberías probar, en caso de que no lo veas ya, que un subconjunto de una cadena es una cadena; y que una cadena finita tiene un elemento máximo. Por lo tanto, tenemos algunos $A \in C$ de tal manera que $u_1, \ldots ,u_n \in A$ .