Cuántos de los elementos $x$ en el campo de $\mathbb{ Z}_{11}$ satisfacer la ecuación de $x^{12} - x^{10} = 2$?

Question

Cuántos de los elementos $x$ en el campo de $\mathbb{ Z}_{11}$ satisfacer la ecuación de $x^{12} - x^{10} = 2$?

Answer 1

Sugerencia: cada elemento distinto de cero $x \in \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$ satisface $x^{10} = 1$.

Answer 2

Obviamente $x \equiv 0 \pmod{11}$ no es una solución, por lo tanto, $x$ es no-cero en $\mathbb{Z}_{11}$ y podemos factorizar de esta manera:

$x^{12}-x^{10} \equiv 2 \pmod{11} \implies x^{10} ( x^{2}-1) \equiv2 \pmod{11}$ pero $x^{10}\equiv 1 \pmod{11}$ por cada no-cero $x \in \mathbb{Z}_{11}$ por Fermat poco teorema, o más en general, el uso de Euler totient función de $\varphi(n)$. Que implica:

$x^2 - 1 \equiv 2 \pmod{11} \implies x^2\equiv 3 \pmod{11} \implies x \equiv 5,6 \pmod{11}$