Me gustaría demostrar que un monoidal functor $$\Phi\colon \mathbf{V}\to \mathbf{V'}$$ induces a functor $$\Phi^\#\colon \mathbf{V}\text{-Cat}\to \mathbf{V'}\text{-Cat}$$
y, en particular, me gustaría comprobar que si $\Phi$ admite a la izquierda/derecha adjunto, a continuación, $\Phi^\#$ admite también. El problema es que estoy atascado en la búsqueda de la "derecha" definiciones involucradas (especialmente el de monoidal functor); tengo que silenciosamente supongamos que $\Phi$ es fuerte (o "no-lax") monoidal, es decir,$\Phi(A\otimes B)\cong \Phi(A)\otimes '\Phi(B)$, $\Phi(I)\cong I'$ para todos los $A,B\in \mathbf{V}$ e "inicial" de los objetos $I\in \mathbf V$, $I'\in \mathbf V'$. Tal restricción supuesto me deja insatisfecho, pero no estoy realmente interesado en la no-estricto monoidal functors...
Como un lado de la cuestión, me parece que este es un bien establecido resultado enriquecido en la categoría de teoría, pero no soy capaz de encontrar una referencia precisa demostrar el resultado desde el principio: Kelly trata el resultado como un conocido folclore, diciendo: en las primeras páginas de los conceptos Básicos de la TEC
[no] discutir el cambio de base de la categoría dada por un monoidal simétrica functor $\mathbf{V}\to \mathbf{V'}$ y la inducida por 2-functor $\mathbf{V}\text{-Cat}\to \mathbf{V'}\text{-Cat}, [...]$
y John Gray, en su artículo Categorías Cerradas, la laxitud de los Límites y Homotopy Límites , sólo da una declaración de reclamo que me gustaría probar. De nuevo, ¿me pueden ayudar?
Muchas gracias.
