¿Por qué son resultados de separación importante en el análisis?

Question

He encontrado en un libro de análisis real en la parte relativa lineal funcionales (y el de Hahn-Banach teorema) que un resultado relevante – que depende de Hahn-Banach Teorema – es que para cada par de los distintos vectores $x,y \in X$, $X$ espacio vectorial, no son lo suficientemente delimitada lineal funcionales para separar los puntos de $X$.

Por lo tanto, tengo el siguiente entrelazados preguntas:

• ¿Por qué todos estos resultados de separación son importantes (más allá del hecho de que ellos son importantes en sí mismos)?
• ¿Qué podemos obtener de ellos en términos de llegar a conclusiones?
• ¿Qué nos extrañamos cuando trabajamos con el genérico espacios sin esta propiedad?

La cuestión va más allá del análisis funcional, y es bastante general. Puedo ver que, por ejemplo, la separación resultados son importantes para la optimización, pero me pregunto si hay algo más (mucho más) que yo no (no) ver.

Cualquier opinión es la mayoría de la recepción.

Answer 1

Usted dice que usted es autodidacta en su presentación. Esta es la razón por la que damos aquí una SUGERENCIA (no respuesta) tal vez de interés para usted. El profesor P. J. Laurent de la Universidad de Grenoble dio en su muy buenas lecciones de estos cuatro consecuencias de Hahn-Banach teorema.

Deje $E$ ser un espacio de Banach,

► Si $x_0\in E$, entonces hay un acotado funcional lineal f definido en $E$ tal que

(1º) $||f||=1$;

(2º) $f(x_0)=||x_0||$

► Deje $G$ ser lineal variedad de $E$ $y_0\notin G$ $d=$ Inf$_{x\in G}||y_0 -x||\gt 0$. Hay una limitada lineal funcional $f$ $E$ tal que

(1º) $f(x)=0$$x\in G$;

(2º) $f(y_0)=1$;

(3º)$=||f||=\frac 1d$

► Misma hipótesis de 2).

Hay una limitada lineal funcional $u$, ortogonal a $G$ tal que $||u||=1$$d=u(y_0)$. Además de $d=$ Sup $ u(y_0)$ todos los $y_0\in E$ cuando la Supremun es tomar los elementos $u\in G$ $||u||=1$

► Deje $G$ lineal variedad de $E$ teniendo como generadores {$x_1,x_2,x_3,...$} y $y_0\notin G$. El elemento $y_0$ se puede aproximar arbitrariamente por elementos de la $G$ (i.e, $y_0$ es adherente a $G$) si y sólo si todos los delimitada lineal funcional $f$ $E$ que compruebe $f(x_i)=0$ para todos índice $i$ verifica también se $f(y_0)=0$

Aquí puede ver las propiedades de la separación, aunque tal vez no es lo que usted está buscando. Si usted está interesado en la prueba me escriba a ortiz.silvio138@gmail.com