Solucionar $z^4+16=0$ donde $z$ es un número complejo

Question

El siguiente ejercicio está relacionado con los números complejos por lo $z$ es un número complejo. Puede usted por favor, compruebe si me resuelve correctamente el ejercicio. $$z^4+16=0$$ $$z^4=16i^2$$ $$z^2=4i$$

Transformé el complejo de número de $4i$ en el trigonométricas de la forma, y consiguió:$$4(\cos(\pi +\pi k)+i\sin (\pi+\pi k))$$. So the result is:$$z=2\left[\cos{\left({\pi +\pi k \over 2}\right)}+i\sin\left ({\pi+\pi k\over 2}\right)\right]$$.

El único problema es que en mi libro el resultado es: $$z=2\left[\cos{\left({\pi +2\pi k \over 4}\right)}+i\sin\left ({\pi+2\pi k\over 4}\right)\right]$$

Espero que me vas a ayudar a encontrar el error. Gracias que estás reflexionando sobre mi ejercicio !

Answer 1

Una solución alternativa es factor de esta manera:

$$x^4+16 = (x^2+4)^2 - 8x^2 = (x^2+4+2\sqrt 2 x)(x^2+4-2\sqrt2 x)$$

Y solucionar $x^2+2\sqrt2 x +4=0$$x^2-2\sqrt2 x +4=0$. Esto le dará la solución exacta:

$$x=\pm \sqrt 2 \pm i\sqrt 2$$

Answer 2

$$z^4=-16$$ ¿$-1=e^{i(\pi+2k\pi)}$: $$z^4=16 \exp\left(i(\pi+2k\pi)\right)$$ $$z=2 \exp\left(\frac{i(\pi+2k\pi)}{4}\right)$$

Answer 3

$$z^4+16=0<=>$$ $$z^4=-16<=>$$ $$z^4=|-16|e^{arg(-16)i}<=>$$ $$z^4=16e^{(\pi +2\pi k)i}<=>$$

(con k es el elemento de Z)

$$z=\left(16e^{(\pi +2\pi k)i}\right)^{\frac{1}{4}}<=>$$ $$z=2e^{\left(\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\pi k\right)i}$$

(con k va de 0 a 3 -> k=0-3)