La compacidad implica la cerrazón

Question

Estaba leyendo el post:

¿Cómo demostrar que un conjunto compacto en un espacio topológico de Hausdorff es cerrado?

Citando la respuesta aceptada:

Fijar $x\in\mathbb{X}\setminus K$ . Desde $\mathbb{X}$ es Hausdorff, para cada $y\in K$ hay conjuntos abiertos disjuntos $U_y$ y $V_y$ tal que $x\in U_y$ y $y\in V_y$ . $\{V_y:y\in K\}$ es una cubierta abierta de $K$ , por lo que tiene una subcubierta finita, digamos $\{V_y:y\in F\}$ , donde $F$ es algún subconjunto finito de $K$ . Dejemos que $$U=\bigcap_{x\in F}U_x\;;$$ claramente $U$ es una nbhd abierta de $x$ disjunta de $K$ . Desde $x$ era un punto arbitrario punto de $\mathbb{X}\setminus K$ , $K$ debe estar cerrado.

¿Por qué es $\{V_y \mid y \in K\}$ una tapa abierta de $K$ ? Es decir, para utilizar la compacidad en el argumento, necesitamos que el conjunto $V_y \subseteq K$ De lo contrario, no veo cómo puede ser parte de una cubierta abierta en el subespacio $K$ .

Answer 1

Sustituir $V_y$ con $V_y\cap K$ y todo funcionará:

• cada $V_y\cap K$ es un subconjunto de $K$ ;
• cada $V_k\cap K$ está abierto en $K$ ;
• $\left\{V_y\cap K\,\middle|\,y\in K\right\}$ es una cubierta abierta de $K$ .

Answer 2

Se trata de dos nociones diferentes de compacidad: un subconjunto compacto de un espacio topológico y un espacio compacto. Pero, efectivamente, cuando hay superposición, no hay distinción. Es decir,

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, y sea $K\subset X$ se dé. Entonces $K$ es compacto (en la topología del subespacio) si y sólo si siempre que $\{U_\alpha\}$ es una colección de subconjuntos abiertos de $X$ tal que $K\subset\cup_\alpha K_\alpha$ existe un subconjunto finito $\{U_1,\ldots,U_n\}$ de $\{U_\alpha\}$ tal que $K\subset U_1\cup\cdots\cup U_n$ .

La prueba de esto es bastante sencilla, pero es un ejercicio útil si eres nuevo en la topología.

Answer 3

\begin {align} \{y\} & \subseteq V_y \\ K = \bigcup_ {y \in K} y & \subseteq \bigcup_ {y \in K} V_y \end {align}