Polinomios de grado $\ge2$ cuyas imágenes de la partición de $\mathbb{N}$

Question

Estoy buscando un conjunto de polinomios $S\subset \mathbb{Z}[X]$ tal que $$f(\mathbb{Z})\cap g(\mathbb{Z})\cap\mathbb{N}=\emptyset$$
para todos los $f\neq g\in S$ y tales que $$\bigcup_{f\in S}f(\mathbb{Z})\supset \mathbb{N}.$$ Ahora, esto es bastante fácil. Simplemente tome $\{X\}\in \mathbb{Z}[X]$. Sin embargo, estoy imponiendo la condición adicional de que $$\min\{\deg f:f\in S\}\ge 2.$$

Pregunta qué tal un conjunto de polinomios de existir?

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Es claro que un conjunto de polinomios tiene que ser infinita, pero eso es todo lo que tengo que hacer. Tal vez se podría generar estos polinomios de forma recursiva, tomando los primeros y, a continuación, encontrar un polinomio que alcanza el valor más bajo aún no cubiertos, mientras que nunca la obtención de un valor ya obtenida por uno de los otros, pero no veo la forma en que funcione exactamente.

Answer 1

Me permiten suponer que $0$ no es un número natural. Si usted quiere que sea, entonces podremos solucionar este problema, pero por ahora vamos a excluir. Deje $SF\subset\mathbb{N}$ el conjunto de la plaza libre de números naturales. Considerar el conjunto de los polinomios de $P=\{nx^2|n\in SF\}$. Me dicen que estos polinomios partición $\mathbb{N}$ en la forma que desee.

Ver el siguiente post para la existencia y unicidad de factorizations de números naturales en la plaza y de la plaza libre de partes: Mostrar que todos los $n$ puede ser escrito de una manera única en la forma$n = ab$, $a$ plaza libre y $b$ un cuadrado perfecto

Ahora, es evidente por la existencia de la parte que $\bigcup f(\mathbb{Z})=\mathbb{N}$ para los polinomios $f\in P$. La singularidad parte nos garantiza que las imágenes de dos polinomios no se superponen.

EDIT: Como Exodd indica a continuación, en un comentario, usted puede simplemente restar 1 de cada polinomio en $P$ en el fin de solucionar el problema con $0$.

Answer 2

Es una especie de trampa, pero ya que está requiriendo sólo de números naturales, ¿qué acerca de la definición de $$f_n(x) := -(n+1)x^2 +n$$ y utilizando el conjunto de $S := \{f_n|n\in \mathbb{N}\}$? Como $f_n(x) < 0$ todos los $x \neq 0$,$f_n(\mathbb{Z}) \cap \mathbb{N} = \{n\}$, por lo que sus condiciones son trivialmente cumplido.