La intuición es, básicamente, $4$ dimensiones es lo suficientemente grande como $4$-colectores presentan gran variedad (un ejemplo: hay $4$ colectores con el arbitrario finitely generado fundamentales de los grupos), pero lo suficientemente pequeño para que la alta dimensión-colector de cirugía de la teoría del aparato no se aplica a lisa colectores, sólo topológica de los colectores.
La idea clave de que el último es el Whitney truco. Este truco permite isotop aparte incrustado submanifolds de dimensión complementaria que algebraicamente han intersección número cero bajo ciertas condiciones. La idea es cancelar puntos de intersección de signos opuestos en pares mediante la búsqueda de un Whitney disco, un disco con la mitad de su límite en una submanifold y la otra mitad en el otro, reunión en la que los dos puntos. Una vez que la tenga, si el disco de Whitney y cada submanifold ha codimension mayor que dos, el whitney disco genéricamente está integrado y de no cumplir con cualquiera de ellos en su interior. A continuación, usted solo tiene que pulsar uno de los submanifolds de todo el disco. (Hay otros casos en los que trabajar, pero este es el más simple de explicar.)
En dimensión cuatro este truco no funciona, porque el disco de Whitney ha codimension dos, por lo que puede tener la auto intersecciones que no se movió de distancia, y puede que también se intersecan submanifold de manera similar, si son cada dimensión dos.
Curiosamente, uno puede hacer este truco funcione topológicamente (pero no sin problemas), aproximadamente por recorrer en la construcción de una infinidad de veces. Ver: Casson manejar y Freedman del teorema de estos.
(Luego Donaldson vino junto con una increíble manera de decirle a lisa $4$-colectores aparte, pero no estoy seguro de que este pertenece a la intuición con respecto a este.)
