Algunas cuestiones de la teoría fundamental de la calc

Question

Sólo quería comprobar la cordura de estas preguntas:

Encuentra la derivada de estas funciones

1. $$g(s) = \int_{5}^s (t - t^2) ^8 dt$$

$$ g'(s) = (t - t^2)^8$$

2. $$h(x) = \int_{1}^\sqrt{x} \frac{z^2}{z^4 +1} dz$$

$$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{z^2}{z^4 + 1}$$

Answer 1

Para el primero sólo hay que sustituir $t$ con $s$ en el integrando.

Para la segunda supongo que da la regla de la cadena: $$h'(x)=\frac1{2\sqrt x}\cdot \frac x{x^2+1}$$ .

Answer 2

Su primera función $g'(s)$ todavía tiene $t$ que le sobran. Supongo que una vez que los reemplace estará bien.

Su segunda función $h'(x)$ todavía tiene $z$ que le sobran. Supongo que una vez que los reemplace estará bien.

Answer 3

$g'(s)$ significa que g es una función de la variable s pero sigues teniendo t que sólo es válido dentro del integrando... $$g'(s)=(s-s^2)^8$$

Answer 4

El primero debe ser $g'(s)=(s-s^2)^8$ y el segundo es $h'(x)=\frac1{2\sqrt x}\cdot \frac x{x^2+1}$

Esto se deduce de la regla integral de Leibniz de diferenciación bajo el signo integral , que es,

$\,\frac{d}{dx}\bigg(\huge \int_{\small a(x)}^{\small b(x)}\large f(x,t)\,dt\bigg) =\small f(x,b(x)).\frac{d(b(x))}{dx}-f(x,a(x)).\frac{d(a(x))}{dx}+\int_{\small{a(x)}}^{\small{b(x)}}\partial_xf(x,t)dt$ .

En su caso, ya que las derivadas parciales $\,0$ puedes omitirlos.

EDITAR:

estás haciendo $\frac{d}{dx}(\int_1^{\sqrt x}\frac{z^2}{z^4+1})$ . Así que usted sub en $z=\sqrt x$ después de diferenciar (debido a la regla mencionada anteriormente) se obtiene $\frac{(\sqrt x)^2}{(\sqrt x)^4+1}\cdot\frac1{2\sqrt x} = \frac{x}{x^2+1}\cdot\frac1{2\sqrt x}$ . También no se entiende el término $\frac{1^2}{1^4+1}$ como $\frac{d}{dx}(1) =0$ . Anulando ese plazo.