Prueba del teorema del Valor Intermedio que no entiendo

Question

Teorema del valor intermedio . Deje que $f : [a, b] → R$ ser continuo y supongamos que $u$ se encuentra entre $f(a)$ y $f(b)$ . Entonces hay un punto $c$ entre $a$ y $b$ donde $f(c) = u$ .

Prueba parte 1:

*Asume que $f(a) < u < f(b)$ y dejar $A$ ser el conjunto $\{x \in [a, b] : f(x) ≤ u\}.$ Este juego no está vacío ya que contiene $a$ y está limitada por encima por $b.$ Deje que $s$ sea su límite superior más bajo. El objetivo es mostrar que $f(s) = u$ . *

¿Por qué estamos tratando de mostrar $f(s)=u$ ? Entiendo que el valor $u$ necesita tener algún valor $c$ asignado a ella entre $a$ y $b$ pero ¿por qué el supremo $s$ materia aquí. Por cierto, he mirado toda la prueba, pero para empezar no entiendo esto. Además, ¿qué es lo que $f(x)≤u$ Quiero decir que aquí no entiendo el uso que se le da.

Answer 1

Tenemos que mostrar que tal $c$ existe. La prueba dice que $s_1:= \sup\ {x \in [a, b] : f(x) \leq u\}$ que es un número real explícito contenido en $(a,b)$ es un candidato para $c$ . Otro posible candidato podría ser $s_2:= \inf\ {x \in [a, b] : u \leq f(x)\}$ . Ahora que tenemos un candidato tenemos "sólo" para verificar que satisface la propiedad requerida, es decir. $f(s_1)=u$ o $f(s_2)=u$ (note que $c$ puede no ser único).

Answer 2

El pensamiento informal detrás de esta prueba es más o menos el siguiente:

Piensa en el gráfico de la función $y=f(x)$ . Ahora dibuja una línea en la altura $y=u$ . Intenta visualizar el conjunto $A:=\{x \in [a,b]:f(x) \leq u\}$ . Esto consiste en todo $x$ para el cual el gráfico está por debajo o al nivel de esta línea.

La idea ahora es considerar lo que sucede en el límite (sólo en un sentido ingenuo, no necesariamente topológico) de este conjunto $A$ . Allí pasamos de estar en el set $A$ a no estar en el set $A$ . O en otras palabras, de estar debajo de la línea a estar por encima de la línea. Como tenemos una función continua, esto significa que necesitamos estar en la línea, así que $f(x) = u$ .

¿Ahora cómo encontrar un punto en este límite? Esto es simple, tomamos el punto más a la derecha de $A$ que es el límite superior más bajo $s:= \sup A$ . Luego a la izquierda de $s$ estamos en $A$ y a la derecha no estamos en $A$ . Así que estamos en el límite, como se desea.

A partir de esta idea no es difícil escribir los detalles de la prueba formal.

Answer 3

Deberían haber dicho "Dejen $c$ ser su límite superior más bajo" y luego trabajó en mostrar que $f(c) = u.$

Y podrían fácilmente haber dejado $c$ ser el mayor límite inferior de $\{ x \in [a,b] : f(x) \ge u \}.$

Answer 4

Me gusta pensar en ese problema gráficamente. Imagina una simple función continua en tu cabeza o dibújala.

Pensemos en esto. $ \sup\ {x ∈ [a, b] : f(x) ≤ u\}$

Bueno.., $f(b)>u$ así que la f empieza por encima de la u en el punto b. Entonces imagina que estás siguiendo su camino "al revés" empezando por el punto b. La x más grande es tal que $f(x) ≤ u$ en realidad corresponden a la primera vez que f golpeó el valor u siguiendo su camino 'hacia atrás'.

Del mismo modo $ \inf\ {x ∈ [a, b] : f(x) ≤ u\}$ le dará el primer punto en el que su función le golpeará si sigue su camino hacia adelante a partir del punto a.