La relación entre una declaración y un teorema

Question

Estoy leyendo el libro de la Comprensión Matemática de la Prueba por Taylor y Garnier. El libro dice: "Una declaración de que tiene una prueba que se llama un teorema." Esto me siento bien.

En el siguiente párrafo, dicen, "Una declaración puede no ser un teorema por una de dos razones. Podría ser falso y por lo tanto no hay pruebas de que es posible. Por ejemplo, la declaración de '$2^{256}-1$ es el primer' es falsa, así que no importa cuánto nos esforcemos, no vamos a ser capaces de encontrar una prueba. La otra posibilidad es que simplemente no puede saber si es o no la instrucción tiene una prueba."

Esta última frase, que me hacen. Sin embargo, la frase "[la declaración] podría ser falso y por lo tanto no hay pruebas de que es posible" siento que va en contra de lo que se dijo antes, "Una declaración de que tiene una prueba que se llama un teorema". En primer lugar, ellos están diciendo que una declaración puede convertirse en un teorema de si es o T de F. Entonces, ellos están diciendo que una declaración no puede ser un teorema si es F.

Hace nadie siga mi lógica, o estoy equivocada?

Answer 1

Usted escribe:

En primer lugar, ellos están diciendo que una declaración puede convertirse en un teorema de si es o T o F

Dudo mucho que el libro tiene que reclamar. El libro probablemente dijo que las instrucciones pueden ser T o F, pero sólo los verdaderos declaraciones pueden convertirse en teoremas. Por lo tanto, si una afirmación es falsa, no puede convertirse en un teorema.

Answer 2

Una declaración de que una prueba válida que existe es un teorema.

Si se sabe que la afirmación es falsa, entonces no puede ser un teorema.

Si la afirmación es verdadera, pero no se conoce ninguna prueba, luego de que la declaración no es un teorema.

Answer 3

Permítanme dar una explicación más precisa.

Si la declaración es significativa, lo suficiente como para tener un valor de verdad, entonces es verdadero o falso. Pero ¿qué significa "significativa" significa? Es una cuestión filosófica. Uno puede, por ejemplo, decir que todos los aritméticos de las declaraciones (de primer orden frases acerca de los números naturales) son significativos, debido a la aparente sonido interpretación de la Aritmética de Peano en términos de cadenas binarias en algún medio físico y la adecuada la implementación de algoritmos de la adición y la multiplicación y la comparación. ¿Por qué debo mencionar específicamente esto? Debido a que esta noción de significado (semántica) no es eliminable. (Existe otro enfoque, donde la "verdad" está ligado a un cierto modelo, pero que sólo empuja el problema de la alfombra más profundo).

También, si la base de sistema de $S$ para las matemáticas que usted elige utilizar es el sonido de la realidad, entonces cada declaración significativa que $S$ demuestra que es verdad en el mundo real. El objetivo original de la lógica fue, de hecho, para capturar el sonido deducciones lógicas, de manera concreta, por lo que podemos estar seguros de que todo lo que podemos deducir a través de la lógica es cierto en la realidad. Así que esperamos que $S$ es el sonido de la realidad (por ejemplo, para aritmético de las oraciones). Para ilustrar cómo es realmente relevante para la vida real, HTTPS (el que se utiliza ahora para acceder a las Matemáticas SE) depende de Fermat poco teorema; su verdad implica que siempre se puede descifrar la RSA cifrado de contenido, y no hay mejor explicación de por qué HTTPS funciona.

Así que supongamos que creemos que nuestra fundamentales del sistema $S$ es el sonido de la realidad. Tomar cualquier declaración significativa $X$. Si (en $S$) podemos probar $X$, es decir, nos encontramos con una prueba de $X$$S$, entonces por la definición de "teorema" $X$ es un teorema de $S$. También, basado en nuestra creencia también debemos creer que $X$ es cierto en la realidad. Por lo tanto si $X$ es falso, en realidad, debemos creer que no hay ninguna prueba de $X$$S$. Por otro lado, si no podemos demostrar $X$, en realidad, hay dos posibilidades:

1. Hay una prueba de $X$ ( $S$ ) pero no somos inteligentes, o la suficiente paciencia para encontrarlo.

2. No hay ninguna prueba de $X$. Tenga en cuenta que en este caso puede ser que el $X$ es cierto en la realidad. Por el teorema de la incompletitud de Gödel, si $S$ puede razonar acerca de la aritmética básica y es el sonido de la realidad, a continuación, $S$ no probar su propia consistencia Con($S$), es decir, ( $S$ no demuestra una contradicción ), a pesar de Con($S$) es cierto en la realidad.

Así que tenga cuidado con el caso 2. No asuma que si una declaración no tiene absolutamente ninguna prueba sobre $S$ debe ser falsa. Intuitivamente, $S$ "no es lo suficientemente potente como' probar todos los enunciados verdaderos.

Por cierto, he utilizado deliberadamente la palabra "creo", porque no se puede quitar. Nunca puede ser una manera de demostrar que, sin duda, que nuestro fundamentales del sistema es el sonido de la realidad. Esa es una de las razones de la reclamación en su libro no es totalmente exacta. Por ejemplo, si realmente nos eligió un imprudente fundamentales del sistema, a continuación, nos gustaría ser capaces de demostrar una declaración de que es falso. La demanda fundamentalmente depende de nuestra creencia.

Answer 4

Sería más claro decir que una declaración de que es rebatible, es decir, su negación es comprobable, no tiene pruebas para indicar que el escenario.

Con esta perspectiva, podemos ilustrar los tres casos, los autores se refirieron a: $\varphi$ es demostrable, o $\neg\varphi$ es comprobable, ni tampoco lo es (o al menos no sabemos aún que, si bien, es).