La evaluación de $\int\limits_0^\infty{\frac{1}{1+x^2+x^\alpha}dx}$

Question

Estoy tratando de evaluar$$f(\alpha)=\int\limits_0^\infty{\frac{1}{1+x^2+x^\alpha}dx}$$ Me resultó:
$f(\alpha)$ converge al $\alpha\in\mathbb{R}$
$f(2-\alpha)=f(\alpha)$
$f(0)=f(2)=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
$f(1)=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$
$f(-\infty)=f(\infty)=\frac{\pi}{4}$
Pregunta Similar:$$\int\limits_0^\infty{\frac{1}{1+x^\alpha}dx}=\frac{\pi}{\alpha}\csc\frac{\pi}{\alpha}$$ He intentado todas las técnicas pueden ser utilizadas en la evaluación de esta integral, pero todavía no puedo obtener la respuesta. Cuando yo estaba usando el análisis complejo, me encontré con que los polos de $\frac{1}{1+x^2+x^\alpha}$ es difícil de encontrar.

Answer 1

No es una respuesta completa, algunas consideraciones.

En primer lugar, hacemos una sustitución:

$$x=\tan t$$

La integral se convierte en (yo uso $a$ en lugar de $\alpha$ por conveniencia):

$$f(a)=\int_0^{\pi/2} \frac{dt}{1+\cos^{2-a} t~ \sin^a t}$$

Que por cierto, hace que la ecuación funcional de la OP muy claro.

Para los valores de $a$ satisfacción $|\cos^{2-a} t~ \sin^a t|\leq 1$, se puede ampliar la función integrada como una serie geométrica:

$$f(a)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{\pi/2} \cos^{2n-an} t~ \sin^{an} t ~dt$$

Sin embargo, el rango de $a$ permitiendo que esta representación es muy restrictiva: $0 \leq a \leq 2$.

La integral en términos generales, es fácil de reconocer como función Beta:

$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n-an} t~ \sin^{an} t ~dt=\frac{1}{2} B \left(n-\frac{an-1}{2},\frac{an+1}{2} \right)$$

Ahora el original de la integral se convierte en:

$$f(a)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B \left(n-\frac{an-1}{2},\frac{an+1}{2} \right)$$

Vamos a usar la función Gamma representación:

$$f(a)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\Gamma \left(n-\frac{an-1}{2} \right) \Gamma \left(\frac{an+1}{2} \right)}{\Gamma (n+1)} $$

Para algunos $a$ esto podría ser una función Hipergeométrica. Para encontrar su forma, vamos a considerar la relación de los términos:

$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{\Gamma \left(n+1-\frac{an}{2}-\frac{a}{2}+\frac{1}{2} \right) \Gamma \left(\frac{an}{2}+\frac{a}{2}+\frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left(n-\frac{an}{2}+\frac{1}{2} \right) \Gamma \left(\frac{an}{2}+\frac{1}{2} \right)} \frac{-1}{n+1}$$

Si $a$ es, incluso, la relación será de un polinomio, y vamos a tener una función Hipergeométrica generalizada.

Pero debido a la condición en $a$ para que se deriva de la serie, el único permitido que incluso los valores de $a=0$$a=2$, por lo que los casos el OP ya proporciona una forma cerrada.