¿Cómo el Cantor ' s diagonal argumento que $(0,1)$ innumerables acuerdos con algunos números verdaderos tienen dos diferentes expansiones decimales?

Question

Recientemente he aprendido Cantor del argumento que demuestre $(0, 1)$ es incontable. Básicamente, el argumento va: en primer lugar asumir el contrario, por lo tanto, no es un bijection $$f: \mathbb{N} \rightarrow (0, 1)$$ that $$f(1) = 0.a_{11}a_{12}a_{23}...$$ $$f(2) = 0.a_{21}a_{22}...$$ and in general $$f(n) = 0.a_{n1}a_{n2}...$$ where $a_{nm} \in \mathbb{N}, 0 \le a_{nm} \le 9$. Then we construct a number $$s = 0.b_{11}b_{12}...$$ where each $b_{1n} \ne a_{nn}$. The argument then goes that since the new number $s$ differs with any $f(n)$ with at least one digit, it cannot equal to any $f(n)$, therefore this function $f$ no es surjective, conduce a una contradicción.

Sin embargo, hay casos que incluso si dos números de $a$$b$$(0, 1)$, cuando se escribe en forma decimal, difiere en algunos dígitos, que todavía puede ser igual a la otra. Por ejemplo: $$0.1000000... = 0.0999999...$$ entonces, ¿Cómo puede este argumento todavía se mantienen, entonces?

Answer 1

Para ser una biyección útil, $f$ debe ser $f: \mathbb{N} \rightarrow (0,1)$. Observe que, puesto que $f$ se supone que es biyectiva, cada valor del $f(n)$ es único, independientemente de cómo se representa.

Suponiendo que estamos utilizando base $10$, $b_{nn}$ puede ser elegido por lo que no son igual a $0$ o $9$. Entonces, no importa cómo está representada la lista, no incluye el nuevo número.

Answer 2

Supongamos que se considera sólo el subconjunto de $(0, 1)$ que se compone de números cuya representación decimal no incluye una infinita sufijo de idéntica repetición de dígitos. Incluso este subconjunto puede ser colocado en un bijection con los números naturales, por la diagonal argumento, por lo $(0, 1)$, cuya cardinalidad es al menos tan grande como este subconjunto, también debe ser incontables.

Answer 3

Usted puede elegir cada dígito $b_j$ a mentir en $\{1,2\}$ decir, y así evitar un decimal que termina en una cadena de ceros o nueves.

Por otra parte hay countably muchos decimales que terminan en ceros o todos los nueves, por lo que puede insertar en su lista original de los decimales. Entonces su $s$ también es una garantía de que no a extremo en todo ceros o todo nueves.

Answer 4

"Entonces, ¿cómo puede este argumento todavía se mantienen, entonces?" Porque has aprendido una tergiversación de la misma. Nada es abiertamente incorrecto en lo que has aprendido, pero es incompleta. Y hay varias partes de lo que plantean más cuestiones que resolver, y tu pregunta es una de ellas.

La proposición de Georg Cantor quería demostrar (a partir de una traducción en http://www.logicmuseum.com/cantor/diagarg.htm) fue "hay una infinita variedad, que no se puede poner en un uno-uno correlación con la totalidad de todos finito de los números enteros". En terminología moderna, que significa "Hay un conjunto infinito que no tiene bijection con $\mathbb N$".

El Cantor del primer intento de demostrar esta proposición utilizar los números reales en el conjunto en cuestión, pero fue profundamente criticado por algunos de los supuestos que hizo acerca de los números irracionales. Diagonalización, intencionalmente, no hizo uso de los reales. "No es una prueba de esta proposición, que es mucho más simple, y que no depende de considerar los números irracionales."

Wikipedia llama el conjunto utilizó $\mathbb T$, que es el conjunto de todas las funciones de la forma $$t: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb \lbrace '0', '1' \rbrace.$$Estos son infinitas cadenas de longitud de de '0' y '1. Sí, pueden ser utilizados para representar números reales en [0,1] en binario. Pero "0111..." es diferente de "1000...", mientras que 0.0111...=0.1000... .

Cantor supone la existencia de una función de la forma$$s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb T.$$ Él no se supone que esta función fue una inyección, aunque esto es mayormente irrelevante. Él también no se supone que esta función fue un surjection. Lo de diagonalización demuestra, de forma directa y no por la contradicción, es que dicha función no puede ser un surjection.

Answer 5

Cantores argumento no fue originalmente sobre los decimales y los números, se fue sobre el conjunto de todas las infinitas cadenas.

Sin embargo, podemos fácilmente aplicar a los decimales.

La única decimales que tienen dos representaciones son aquellos que pueden ser representados como un decimal con un número finito de no$9$ términos o como un decimal con un número finito de no$0$ términos. Si utilizamos la combinación de sustitución, de modo que $9$s ir a algo otro que $0$ $0$s ir a algo distinto de $9$s, entonces el valor resultante que "no está en la lista de" no ser uno de estos números con dos representaciones. Así que no es un problema.

Ejemplo: Si nuestra combinación de sustitución para reemplazar todo con $5$s, salvo que nos reemplace$5$$6$. El número resultante será 1) sólo contengan $5$s y $6$, por lo que sólo tienen una representación y 2) no va a "estar en la lista".