¿Cuál es la derivada de un campo vectorial en un múltiple?

Question

Estoy estudiando el libro "Teoría Geométrica de los Sistemas Dinámicos Una Introducción" - Jacob Palis, Jr., Welington de Melo.

En la página 10, el autor define:

Deje $M^m\subset \mathbb{R}^k$ ser una variedad diferenciable. Un campo vectorial de clase $C^r$ M $C^r$ mapa de $X: M \rightarrow \mathbb{R}^k$ que asocia un vector $X(p) \in T_pM$ a cada punto de $p \in M$. Esto corresponde a un $C^r$ mapa de $X: M \rightarrow TM$ tal que $\pi X$ es la identidad en $M$ donde $\pi$ es la natural proyección de$TM$$M$. Denotamos por a $\mathfrak{X}^r (M)$ el conjunto de $C^r$ campos vectoriales en $M$.

Y en la página 58, viene la definición que estoy teniendo problema

Deje $X \in \mathfrak{X}^r(M)$ y deje $p\in M$ ser una singularidad de $X$. Decimos que $p$ es un hiperbólico singularidad si $DX_p: T_p M \rightarrow T_p M $ es un hiperbólico lineal del vector de campo, que es, $DX_p$ no tiene ningún valor propio en el eje imaginario.

No entiendo por qué la $DX_p: T_pM \rightarrow T_pM$. Mi conocimiento de la Topología Diferencial sólo me permiten diferenciar las funciones como $f: M \rightarrow N$, lo que implica que $Df_p: T_pM \rightarrow T_{f(p)} N$, por lo que (en mi mente) de la correcta sería la $DX_p:T_pM \rightarrow T_{X(p)}\mathbb{R}^k$, por lo que hablar de autovalor en $DX_p$ no tiene sentido, porque $DX_p$ no es un endomorfismo.

El más raro es que $T_pM$ ni siquiera es isomorfo a $T_{X(p)}\mathbb{R}^k$. ¿Alguien puede decirme qué estoy confuso?

Answer 1

Ver $X$ como un suave mapa de $X \colon M \to TM$ con la propiedad de que $\pi X = 1_M$ donde $\pi \colon TM \to M$ es la proyección del mapa. Como $X$ es un buen mapa entre los colectores tiene un derivado $DX_p \colon T_p M \to T_{X(p)} TM$ se define como la derivada de cualquier liso mapa. Este en efecto, parece un problema: el espacio vectorial de la izquierda tiene dimensión $\dim(M)$ mientras que el de la derecha tiene una dimensión $2 \dim(M)$, por lo que no tiene sentido hablar de valores propios!

Pero $X$ no es sólo cualquier liso mapa: no hemos utilizado la ecuación de $\pi X = 1_M$ todavía. Permítanos diferenciar ambos lados de esta ecuación usando la regla de la cadena:

$$D\pi_{X(p)} \circ DX_p = 1_{T_p M}$$

Banalizar todo a través de una coordenada barrio de $p$,$T_{X(p)} TM \cong \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$$T_p M \cong \mathbb{R}^n$; en esta banalización $D\pi_{X(p)}$ es sólo la proyección de mapa en el primer factor. Por lo tanto la ecuación anterior, dice que el $DX_p$ tiene que tener la forma

$$DX_p(v) = (v, Lv)$$

para algunos transformación lineal $L \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Es bastante estándar, un abuso de notación para pensar de este objeto $L$ como "la derivada" de $X$, incluso a pesar de que la derivada es realmente $(I, L)$ donde $I$ es la identidad.

Answer 2

Es posible minorly adaptar la respuesta de Paul Siegel con el fin de evitar como banalizaciones. Sólo tiene que utilizar la separación natural de más de un punto de $(p,0)$$T_{(p,0)}TM$.

De nuevo, un campo de vectores es un mapa de $X: M \to TM$ tal que $\pi \circ X=\mathrm{Id}$.

Si $X(p)=0$, $dX_p:T_pM \to T_{(p,0)}TM \simeq T^h_{(p,0)}TM\oplus T^v_{(p,0)}TM,$ donde $$T^h_{(p,0)}TM:=\{\dot{\gamma}(0) \mid \gamma \text{ is a curve through $(p,0)$ such that } \gamma \subset M\},$$ $$T^v_{(p,0)}TM:=\{\dot{\gamma}(0) \mid \gamma \text{ is a curve through $(p,0)$ such that } \gamma \subset T_{p}M\}.$$

Tenga en cuenta que la existencia de una descomposición natural utiliza fuertemente el hecho de que $X(p)=0$, de lo contrario tendríamos que depender de una métrica (más directamente, de la conexión) en $M$ para el acabado (para obtener más información, consulte aquí).

Hay un isomorfismo natural $i: T^v_{(p,0)}TM \to T_pM $ (es similar a la de isomorfismo que existe de $T_pV \to V$ donde $V$ es un espacio vectorial). Los "derivados", que en el texto se alude es entonces $$DX_p=\iota \circ \pi_2 \circ dX_p.$$

Answer 3

Desde $M$ es un colector, hay un barrio $U$ $p$ y un gráfico de $U\to\Bbb R^m$. En particular, se determina un isomorfismo $T_pM\cong\Bbb R^m$, y la tangente del colector de más de $U$ es isomorfo a la trivial fibration $U\times T_pM$. (Podemos acoplarla a nivel local).

Así que, localmente (es decir, más de $U$) podemos considerar el campo de vectores $X$$U\to T_pM$.
(Puede escribir bien $U\to\Bbb R^m$ si es más claro.)
Finalmente, como $T_pM$ es un espacio lineal, su espacio de la tangente (en cualquier momento), se identifica con la misma.