Seguimiento de la desigualdad real de las matrices

Question

Es allí cualquier resultado general la caracterización real de las matrices $A$ tal que $$[\mathrm{tr}(A)]^2\leq n\mathrm{tr}(A^2)?$$

Puedo ver que la desigualdad se cumple si:

1. todos los autovalores de a $A$ son reales (por la de Cauchy-Schwarz desigualdad) o

2. $A$ es una matriz no negativa. Para ver esto de escribir $$n\mathrm{tr}(A^2)=n\sum_{i=1}^{n}(A_{ii})^{2}+n\sum_{i,j=1,i\neq j}^{n}A_{ij}A_{ji},$$ y tenga en cuenta que, por la suma de los cuadrados de la desigualdad, $$n\sum_{i=1}^{n} A_{ii})^{2}\geq\left( \sum_{i=1}^{n}A_{ii}\right)^{2}=\left[\mathrm{tr}(A)\right]^{2}.$$ If $Una$ es no negativa
   $$n\sum_{i,j=1,i\neq j}^{n}A_{ij}A_{ji}\geq 0,$$ y por lo tanto, la desigualdad se mantiene.

Pero, ¿qué acerca de las matrices no satisfactorio 1. o 2.? Hay más condiciones generales (o de otras) en virtud de la cual la desigualdad anterior se mantiene?

Answer 1

La desigualdad en cuestión puede escribirse como $$\renewcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\tr(X^2)\ge0,$$ where $X=-\frac{\tr(A)}{n}I$ is the traceless part of $$. With this alternative formulation, I don't expect any nice characterisation of the feasible $$s, pero podemos ver de inmediato que es más fácil trabajar con esta formulación:

1. Cuando todos los autovalores de a $A$ son reales, todos los autovalores de a $X^2$ son no negativos. Por lo tanto $\tr(X^2)\ge0$. De Cauchy-Schwarz desigualdad no es necesario.
2. Al $A$ no negativo fuera de la diagonal entradas, escribir $X=D+F$ donde $F$ es la parte diagonal de $X$ o $A$. A continuación, $DF$ es una matriz con un cero en la diagonal y tanto $D^2$ $F^2$ son no negativos de las matrices. Por lo tanto $\tr(X^2)=\tr(D^2)+\tr(F^2)\ge0$. No tedioso suma que se necesita aquí, y que incluso podemos obtener una débil condición suficiente que el tuyo.

Answer 2

La desigualdad no es cierto en general, para una real diagonalizable $n\times n$ matriz $A=SDS^{-1}$ con autovalores complejos, donde $D$ es la matriz diagonal que contiene los autovalores de a $A$; que es $D_{i,i}=e_{i}$, $i=1...n$.

La desigualdad:

$[\mathrm{tr}(A)]^2\leq n\mathrm{tr}(A^2)$

implica:

$[\mathrm{tr}(SDS^{-1})]^2\leq n\mathrm{tr}(SDS^{-1}SDS^{-1})$

y por el cíclica de la propiedad de la traza:

$[\mathrm{tr}(D)]^2\leq n\mathrm{tr}(D^2)$,

debido a $D$ es la diagonal esto es equivalente a:

$\left(\sum_{i=1}^n e_{i}\right)^2\leq n\left(\sum_{i=1}^n e_{i}^2\right)$.

Como $A$ $A^2$ son reales sus huellas son reales y por lo tanto:

$\mathrm{tr}(D)=\sum_{i=1}^n e_{i}=\sum_{i=1}^n \Re(e_{i})$

$\mathrm{tr}(D^2)=\sum_{i=1}^n e_{i}^2=\sum_{i=1}^n \Re(e_{i}^2)=\sum_{i=1}^n \left(\Re(e_i)^2-\Im(e_i)^2\right)$

donde hemos utilizado:

$(\Re(e_i)+i\Im(e_i))^2=\Re(e_i)^2-\Im(e_i)^2+i2\Re(e_i)\Im(e_i)$.

La desigualdad se convierte entonces en:

$\left(\sum_{i=1}^n \Re(e_{i})\right)^2\leq n\sum_{i=1}^n \Re(e_i)^2-n\sum_{i=1}^n \Im(e_i)^2$

y como:

$0\leq\left(\sum_{i=1}^n \Re(e_{i})\right)^2$

la desigualdad no si (..pero no iff):

$\sum_{i=1}^n \Re(e_i)^2< \sum_{i=1}^n \Im(e_i)^2$.

Para demostrar el fracaso, asumir el real diagonalizable la matriz de $A$ tiene autovalores complejos tales que:

$0< \sum_{i=1}^n \Im(e_i)^2$

a continuación, el real diagonalizable la matriz:

$B=A-S^{-1}\Re(D)S$

tiene autovalores imaginarios puros porque:

$SBS^{-1}=SAS^{-1}-\Re(D)=D-\Re(D)=i\Im(D)$.

Para un ejemplo de una matriz construida de tal manera:

$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\ \end{array} \right)$,

a partir de la cual obtenemos:

$B=\left( \begin{array}{cc} -3/2 & 2 \\ -3 & 3/2 \\ \end{array} \right)$, $e_{i}=\pm i/2\sqrt{15}$

$B^2=\left( \begin{array}{cc} -15/4 & 0 \\ 0 & -15/4 \\ \end{array} \right)$,

$[\mathrm{tr}(B)]^2=0$,

$2\mathrm{tr}(B^2)=-15$,

y por lo tanto nosotros no tenemos:

$[\mathrm{tr}(B)]^2\leq n\mathrm{tr}(B^2)$.