Misterioso Inversa Mellin transformar usando el teorema del residuo

Question

El origen de este problema radica en la explicación de la evaluación de la serie de $\sum_{n\geq1}\frac{\cos(nx)}{n^2}=\frac{x^2}{4}-\frac{2\pi}{4}+\frac{\pi^2}{6}$

ver en este enlace ( La serie de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^2}$ )

En la propuesta de solución de un complejo integral, debe ser evaluado, que es una inversa de mellin de transformación. Esto se hace usando el teorema de los residuos.

Deje $Q(s)=-\Gamma(s-2)\zeta(s)\cos(\frac{\pi s}{2})$.

La pregunta es cómo evaluar $\int_{\frac{5}{2}-i\infty}^{\frac{5}{2}+i\infty} Q(s)/x^s \, ds$

El autor dice que se integra sobre la parte izquierda del avión, supongo que él utiliza un semi círculo como un contorno, que incluye los 3 polos y si $R\rightarrow +\infty$ la integral sobre el arco se desvanece y la parte donde $\operatorname{Re}(s)>\frac{5}{2}$ está cubierto. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo? Traté de aplicar Jensens lema que no funciona. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $\sigma$, la convergencia absoluta de la integral

$$\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} Q(s)/x^s ds$$

está garantizado por la fórmula de Stirling y el enlazado de Riemann zeta función en tiras verticales, siempre que nos mantengamos lejos de los polos de $Q(s)$. Esto es porque sabemos que las propiedades de crecimiento de $\Gamma(s-2)$, $\cos(\pi s/2)$ y $\zeta(s)$$\text{Im}(s)\rightarrow \infty$.

En detalle, vamos a $s=\sigma+it$,$\sigma<0$$t\rightarrow \infty$,

$$\zeta(s)\ll (2\pi)^{-\sigma} |t|^{1/2-\sigma}$$ $$\Gamma(s-2)\sim \exp (-\frac{\pi}{2}|t|)|t|^{\sigma-2-1/2}$$ $$\cos(\pi s/2)\sim \exp (\frac{\pi}{2}|t|)$$

De modo que su producto es mucho menor que$$(2\pi)^{-\sigma} |t|^{-2} $$

Después de esto se justifica, podemos construir un cuadro de nuestro contorno, con vértice $5/2-iT,5/2+iT,-N-iT,-N+iT$ grandes $T$$N$. Mientras $|x/2\pi|<1$, la integral va a$0$$\sigma=-N\rightarrow -\infty$.