¿Por qué es $\gcd(2^p + 1,3^p + 1) = 1$?

Question

Deje $p$ ser un extraño prime. ¿Por qué es $\gcd(2^p + 1,3^p + 1) = 1$ ?

He intentado utilizar de fermat poco y $\gcd(a+b,a) = gcd(a,b)$, pero sin éxito.

Puedo hacer una estadística argumento que sugiere que hay sólo un número finito de soluciones.

Pero no me gusta el uso de estadísticas en la teoría de números. Tiene una mala reputación. ( ejemplo ingenuo, probablemente, para los números primos de fermat vs los primos de mersenne ).

Yo también tenía la impresión de

$$\gcd(2^{5n} + 1,3^{5n} + 1) = 1$$

Para la mayoría de los enteros positivos $n$.

No estoy seguro de si ayuda pero podemos quitar un par de factores para llegar a

$$\gcd(\frac{2^p + 1}{3},\frac{3^p + 1}{4}) = 1$$

Con p-adics ayuda ?

Tendría valor como una prueba de primalidad en combinación con la primalidad de fermat prueba ?

Answer 1

Un CAS me dice $$\gcd(2^{83}+1,3^{83}+1)=499$$ So the claim is false. It happens to be true for many primes $p$, but that is just because of the abundance of possible divisors available for large numbers like $2^{p}+1$ and $3^{p}+1$, and the consequent unlikelihood of an overlap. And yet it's not impossible to have overlap, as with $p=83$.

(Looks like @rogerl beat me to the counter example in the comments.)

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This Sage code lists all the primes less than the $N$th prime where the $\gcd$ is larger than $1$:

N=1000
for k in range(N):
    if (gcd(2^Primes().unrank(k)+1,3^Primes().unrank(k)+1) != 1):
        print(Primes().unrank(k))

Usted puede entrar en esta de aquí, por ejemplo: https://sagecell.sagemath.org