Regular el valor de la intuición acerca de la condición surjectivity

Question

Deje $f:M\rightarrow N$ ser una función suave entre dos liso colectores.

Un $\textit{regular point}$ es un punto de $p\in M$ para que el diferencial de $df_p$ es surjective.

¿Qué hace el surjectivity condición para que el diferencial de decir intuitivamente? ¿Qué es entonces lo "regular" sobre este punto?

Answer 1

Lo que es regular acerca de un punto a regular $p$ es que la fibra de $f^{-1}(f(p))$ es en sí mismo un colector en un barrio de $p$, y que el colector tiene dimensión $dim (M)-dim (N)$.

Sobre el ejemplo más sencillo es obtenida por la toma de $M=\mathbb R^2, N=\mathbb R$$f(p)=f(x,y)=y^2-x^3$.
Tenemos $df_{(a,b)}(u,v)=-3a^2u+2bv$ $p=(a,b)$ e esta forma lineal es surjective (=no-cero) a menos $p=(a,b)=0$.
Como consecuencia de las fibras de $f$, también conocido como el contorno de las curvas de $y^2-x^3=c$ son suaves submanifolds (de dimensión$1$)$M=\mathbb R^2$$c\neq0$.
Sin embargo, el contorno de la curva a través de $p=(0,0) $ es el subconjunto $C\subset \mathbb R^2$$y^2-x^3=0$, que no es un colector en cualquier barrio de $(0,0)$.

Diferencial de los geómetras general de retroceso en el horror antes de bestias como $C$, mientras que algebraicas geómetras de estudio bajo el nombre de singular variedades.