Intentar construir una familia de funciones de corte que satisfagan ciertas condiciones

Question

Que sea $\Omega\subset \mathbb{R}^n $ un conjunto abierto acotado de clase $C^1$ y que sea $\Omega'\subset \subset \Omega ''\subset \subset \Omega$ .

Estoy tratando de construir una función $\varphi\in C^\infty (\Omega)$ tal que:

• $0\leq\varphi\leq1$
• $\varphi\equiv 1$ en $\Omega'$
• $\varphi\equiv 0$ en $\Omega \setminus \Omega''$
• $||\nabla \varphi ||_{L^{\infty}(\Omega, \mathbb{R}^n)}\leq \dfrac{2}{{\rm dist}(\Omega',\partial \Omega'')}$

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Mi intento: Mi idea es utilizar la función de distancia ${\rm dist }$ y los moledores. Dejemos que $\alpha={\rm dist}(\Omega',\partial \Omega'')$ .

Tengo en mente esta función:

$$\varphi(x)=\big [\dfrac {2}{\alpha} {\rm dist}(x,\tilde{\Omega}^c)\wedge 1\big ]*\rho_\epsilon$$

donde $\tilde{\Omega}=\big \{ x\in \Omega \;| \;{\rm dist}(x,\Omega')<\dfrac{\alpha}{2} \big \}$ , $\rho_\epsilon$ es el mollificador estándar (utilizo la convolución para tener un $C^\infty$ ) y $\wedge$ es el operador mínimo.

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¿Es correcto mi ejemplo?

Lo que más me preocupa es el último punto. He construido esta función pensando en los dominios como bolas y para ellos la función de distancia es lineal con respecto al radio.

¿Satisface mi función la última petición?

Editar ¿Qué puedo decir sobre el gradiente de la función $x \mapsto {\rm dist }(x,\tilde{\Omega}^c)$ ? ¿Puedo decir que es lineal o puedo hacer algunas estimaciones?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Ya que está pensando activamente en este ejercicio, responderé a su pregunta dándole sólo algunas pistas. Dime si quieres ver más detalles.

• Su ejemplo es casi correcto. Para garantizar que $\varphi\equiv 1$ en $\Omega'$ , debe moler una función que sea igual a $1$ en un barrio de $\overline{\Omega'}$ (no sólo en $\Omega'$ ). Para ello, basta con corregir la definición de $\tilde\Omega$ un poco: sólo toma $\tilde{\Omega}=\big \{x\in \Omega\mid{\rm dist}(x,\Omega')<\frac{2}{3}\alpha\big\}$ en su lugar.
• Llame a $\psi(x):=\frac{2}{\alpha}{\rm dist}(x,\tilde{\Omega}^c)\wedge 1$ la función que estás mellando y piensas $\varphi$ y $\psi$ como funciones de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$ extendiéndolos en cero fuera $\Omega$ (observe que todavía tenemos $\varphi=\psi*\rho_\epsilon$ en $\mathbb{R}^n$ ). $\psi$ es una función de Lipschitz: ¿puedes estimar su constante de Lipschitz?
• Qué ocurre con la constante de Lipschitz de una función de Lipschitz $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ cuando lo apaciguas? (este es el paso crucial)
• ¿Cómo es $\|\nabla\varphi\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)}$ relacionada con la constante de Lipschitz de $\varphi$ ? Concluye.

Como nota al margen, aunque $\psi$ podría ser no diferenciable en alguna parte, todavía se puede dar un significado al "gradiente" de $\psi$ . Hay muchas formas de hacerlo (espacios de Sobolev, subdiferencial de Clarke, derivadas de Dini, ...): seguramente conocerás algunas de ellas si continúas tus estudios en análisis.