Singular transformación lineal y su autovalor

Question

Supongamos $T : \mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}^4$ es lineal en el mapa y $\operatorname{ker}(T)\neq \{0\}$, $\dim \operatorname{Im}(T+I)=3$ (y alguna otra información adicional que no es necesario). Tenía que encontrar a algunos de los autovalores, y yo no entendía la siguiente declaración en la solución:

Debido a $\dim\operatorname{ker}(T+I)=1$, la transformación de $-(T+I)$ es singular y por lo tanto $(-1)$ es un autovalor.

Entiendo que $\dim\operatorname{ker}(T+I)=4-\dim \operatorname{Im}(T+I)=1$. También entiendo que $(T+I)$ es singular (porque $\dim\operatorname{ker}(T+I)>0$) y también entiendo que a $-(T+I)$ es singular. Pero, ¿cómo que de inmediato se deduce que $-1$ es un autovalor?

Mi enfoque inicial fue:

Supongamos $0 \neq v \in \ker (T+I)$,$(T+I)(v)=T(v)+v=0$, lo que conduce a $T(v)=(-1)v$ e lo $-1$ es un autovalor.

Es esto correcto? Hay una solución más elegante? Podemos ver directamente desde el hecho de que $(-I-T)$ es singular, como se dijo en la solución? Y por qué se mencionan $(-I-T)$ en lugar de $(I+T)$?

Answer 1

Se ve bien, y es una buena manera de acercarse a los autovalores/vectores propios. Si usted tiene un lineal mapa de $T$ con autovalor $\lambda$, entonces no es un autovector $v$ tal que $$ Tv = \lambda v. $$ Esto significa $Tv - \lambda v = 0$, y por lo $(T - \lambda I)v = 0$, y así los vectores propios asociados a $\lambda$ a partir de la no-cero elementos de $\ker(T-\lambda I)$.

En tu caso, tienes $(T + I)v = (T - (-1)I)v = 0$ si $v\in \ker(T+I)$, por lo que la suposición de que $T+I$ tiene un no-cero kernel es muy correctamente lo que usted desea utilizar! (No sé si se puede conseguir mucho más elegante que corta la línea de solución, y diría que la solución no utilizar directamente que $\pm (T+I)$ es singular.)

Yo no veo la necesidad de ver el $-(T+I)$ a pesar de que, como cualquier vector $v$ $(T+I)v = 0$ sin duda satisface $-(T+I)v = 0$, y viceversa, por lo que pasar de $T+I$ $-(T+I)$en realidad no te dan nada... tal vez el autor prefiere mover el $-Tv$ hacia el otro lado, el hecho de tener $-v$ en lugar, haciendo alusión a que el autovalor $-1$?