Curva de la curvatura

Question

¿Es posible obtener los parámetros de una curva en 2d simplemente con su curvatura k(s)?

Necesito obtener sus ecuaciones paramétricas para reconstruir la curva, pero no tengo ni idea de cómo o incluso si es posible.

He intentado buscar en internet pero no he encontrado nada relacionado con el problema, incluso he buscado en diferentes libros de geometría diferencial pero no he encontrado nada relacionado con el problema

Answer 1

Si tienes algún valor inicial como el Punto de partida $c_0$ de la curva se puede reconstruir la curva. Si $c(s)$ es la curva parametrizada por $s$ (para simplificar, se puede suponer que la curva está parametrizada por la arclitud) entonces se cumple la siguiente ecuación (si $n(s)$ es el vector normal unitario):

$c''(s) = k(s) n(s)$ . (' es derivado por $s$ )

Para las curvas parametrizadas por la longitud de onda se puede suponer $c(s) = (cos(\theta(s)),sin(\theta(s)))$ para una función $\theta$ . Utilizando la ecuación anterior se obtiene la ecuación diferencial: $\frac{d}{ds} \theta(s) = k(s)$ . Mediante la integración obtendrá $c'$ ; integrar una vez más con una condición inicial $c(0) = c_0$ y tienes la curva.

Answer 2

La respuesta de @kryomaxim es la matemática estándar. La ecuación que da la curvatura en función de la arclitud se conoce como la "ecuación intrínseca" de la curva, o a veces la "ecuación de Cesàro". Puedes empezar a leer sobre esto aquí .

Pero, en la práctica, la teoría matemática por sí sola no es suficiente. Incluso con una ecuación muy sencilla como $\kappa(s) = cs$ (la curvatura es una función lineal de la longitud del arco), la construcción de la curva requerirá el cálculo numérico de algunas integrales desagradables. En este caso concreto, hay que calcular integrales de Fresnel, y se obtiene una curva llamada espiral de Cornu. Este tipo de espirales se utilizan en el diseño de carreteras y vías férreas, por lo que son importantes.

En el diseño de fuentes también se utilizan varios tipos de espirales (con ecuaciones simples de Cesàro). Véase La tesis de Ralph Levien para un relato muy bonito de todo esto.