$2^{2^n} - 1$ es divisible por al menos $n$ distintos de los números primos en el predicado de la forma?

Question

Tengo un problema y es que no saben cómo resolver lógicamente, pero me parece que no puede ser capaz de escribir el enunciado del teorema en el predicado de la forma. La exacta de la instrucción es la siguiente.

$$\text{Para todo } n \in \mathbb{N}, \text{ si } n \ge 1 \text{ entonces } 2^{2^n} - 1 \text{ es divisible por al menos } n \text{ distintos números primos.}$$

Empecé tratando de escribir la instrucción en el predicado de la forma siguiente.

$$\forall n \in \mathbb{N},\ n \ge 1 \implies \textit{<something here referencing each distinct prime } p_i \text{>},\ p_i\ |\ 2^{2^n} - 1$$

Yo, sin embargo, no sé qué poner en el ángulo de los soportes. Yo creo que puede usar a lo largo de las líneas de $\operatorname{gcd}$ para asegurarse de que cada uno de los prime es distinto, pero no sé cómo comprobar que el primer es distinta e iterar sobre cada uno de los prime en el predicado.

Answer 1

La más sencilla es probablemente

$$\forall n \in \mathbb{N},\ n \ge 1 \implies \mathrm{card} \;\{p \;|\; p \textrm{ is prime} \wedge p\,|\, 2^{2^n} - 1 \} \ge n$$

Pero para escribir "$p \textrm{ is prime}$" más formalmente, necesitaría algo como:

$$p\in \Bbb N \wedge p\gt1 \wedge \left[\forall k, (k\in\Bbb N \wedge k\ge 1 \wedge k\,|\,p)\implies (k=1\vee k=p)\right]$$

Usted podría también escribir para el conjunto de la frase:

$$\forall n \in \mathbb{N},\ n \ge 1 \implies \exists\, p\in\Bbb N^n, (\forall i \in\Bbb N, 1\le i\le n \implies p_i>1 \wedge p_i\,|\,2^{2^n}-1) \wedge (\forall i,j \in \Bbb N, 1\le i<j\le n\implies p_i\wedge p_j=1)$$

(aquí uso el mismo $\wedge$ "y lógica" y MCD, por lo que puede parecer extraño)

Sin embargo, éste no indica que el $p_i$ son números primos. Pero no es realmente un problema si usted considera son pares coprime, por lo tanto sus factores primos son distintos.