Cómo probar la no negatividad de $f(x)=1-\cos x-\frac{x^2}{20}$

Question

Estoy tratando de demostrar que $f(x)=1-\cos x -\frac{x^2}{20}$, definido en $[-\pi, \pi]$, no es una función negativa.

¿Cómo puedo probar que $f(x)\ge 0 $ todos los $x \in [-\pi, \pi]$?

Sugerencias?

Answer 1

Un estricto cálculo-el estudiante el enfoque amigable :

De partida, se puede ver que $f(x)$ es una función par, porque :

$$f(-x)= 1 - \cos(-x) - \frac{(-x)^2}{10} = 1 - \cos(x) - \frac{x^2}{10}= f(x)$$

Esto significa que usted sólo tiene que estudiar el intervalo de $[0,\pi]$.

Tomando la derivada de la $f(x)$, tenemos :

$$f'(x) = \sin(x) - \frac{x}{10}$$

Es $f'(x) > 0 \quad \forall \quad x\in [0,\pi/2]$ , lo que significa que $f(x)$ es creciente en el intervalo $[0,\pi/2]$.

Ahora, voy a ir sobre el intervalo $[\pi/2, \pi]$, vamos a tomar la segunda derivada para ayudarnos a nosotros mismos un poco :

$$f''(x) = \cos(x) -\frac{1}{10}$$

Es fácil ver que $f''(x) < 0 \quad \forall \quad x \in [\pi/2, \pi]$, lo que significa que $f'(x)$ es decreciente en ese dominio.

Ahora, observa que :

$$f'\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg) = 1 - \frac{\pi}{20} > 0 $$

$$\text{and}$$

$$f'(\pi) = -\frac{\pi}{10} <0$$

Por el Teorema de Bolzano, (desde $f'(x)$ es continua en a$[\pi/2,\pi]$$f'(\pi/2)\cdot f'(\pi) < 0$) la función de $f'(x)$ tiene al menos una raíz en el intervalo de $(\pi/2,\pi)$. Teniendo en cuenta el hecho de que $f'(x)$ es estrictamente decreciente en el dominio $[\pi/2,\pi]$, sin embargo, esto significa que esta raíz es única.

Ahora, es fácil ver que $f(\pi) > 0$. La combinación de estos con el anterior, es evidente ahora que el único punto crítico de la mentira en $[\pi/2,\pi]$ va a ser positivo y teniendo en cuenta que el $f(0)=f'(0) = 0$ con el hecho de que $f'(x) > 0$ en el intervalo de $[0,\pi/2]$ como se ha demostrado anteriormente, podemos concluir que :

$$f(x) \geq 0 \quad \forall \quad x \in [0,\pi]$$

y por último, como se ha mencionado, teniendo en cuenta la propiedad de la función , incluso, podemos concluir que :

$$f(x) \geq 0 \quad \forall \quad x \in [-\pi,\pi]$$

Un análisis numérico de aproximación :

Tomamos la derivada de $f(x)$, la cual es :

$$f'(x) = \sin(x) - \frac{x}{10}$$

Para encontrar los puntos críticos, tenemos que resolver la ecuación :

$$f'(x) = 0 \Rightarrow \sin(x) - \frac{x}{10} = 0$$

pero esta pregunta no tiene una forma cerrada de la solución.

Vamos a :

$$g(x) = \sin(x) - \frac{x}{10}$$

El uso de Newton-Raphon del método, obtenemos la ecuación :

$$x_{n+1} = x_n - \frac{g(x_n)}{g'(x_n)} \Rightarrow x_{n+1} = x_n - \frac{\sin(x_n) - \frac{x}{10}}{\cos(x_n) - \frac{1}{10}}$$

Uno debe ser cuidadoso, para elegir la correcta valores iniciales, lo cual puede ser complicado. Sólo voy a recoger cerca de los valores de los bordes del intervalo de estudio $[-\pi,\pi]$, la selección inicial de los puntos de partida de $x_0 = \pm 2$. A continuación, el método converge con éxito y cuadráticamente a las raíces de la solución, que son :

$$x \approx 2.85234$$

$$x \approx - 2.85234$$

Demostrando que estas son las únicas raíces en los intervalos de $[-\pi,0)$ $(0,\pi]$ es un cálculo de la tarea que ha sido elaborado en el cálculo de la solución anterior así.

Finalmente, uno puede elegir ese $f'(0)=0$, lo que significa que $x=0$ es una solución así. También puede hacer esto mediante la selección de un punto inicial más cerca del punto medio de a $0$ de los intervalos de $[-\pi,0]$$[0,\pi]$, como por ejemplo,$x_0=1$. El método que se va a converger a $0$, pero tomará más tiempo (por qué ?).

Finalmente, de estos, tenemos que $f'(x)$ $3$ raíces de los cuales son mayores que las de $0$, lo que significa que los puntos críticos son mayores que las de $0$ en el intervalo dado. Por lo tanto :

$$f(x) \geq 0 \quad \forall \quad x \in [-\pi,\pi]$$

Usted puede comprobar los cálculos del método aquí!

Más información sobre el método se puede encontrar en todo el internet, con respecto a las pruebas, expalanation, ejemplos y complicado de los casos (cómo escoger correcto puntos, cuando coverges y cuando no), etc.

Answer 2

SUGERENCIA

Desde

$$1-\frac{x^2}{2}\le \cos(x)\le1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$

Así $$f(x)=1-\cos x -\frac{x^2}{20}\geq 1-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{20}=\frac{9x^2}{20}-\frac{x^4}{24}\geq 0 \quad x\in[-\pi,\pi]$$

De hecho

$$\frac{9x^2}{20}-\frac{x^4}{24}=x^2\left(\frac{9}{20}-\frac{x^2}{24}\right)\geq0 \iff x^2 \leq \frac{216}{20}=\frac{54}{5} \iff \\x\in \left[-\sqrt{\frac{54}{5}},\sqrt{\frac{54}{5}}\right]\implies x\in\left[-\pi,\pi\right]$$

Answer 3

$$1-\cos x=2\sin^2 \frac x2.$$ Necesitamos $$\sin^2 \frac x2\ge\frac{x^2}{10}$$ para $|x|\le\pi$, equivalente a $$\sin^2y\ge\frac{2y^2}5$$ para $|y|\le\frac\pi2$. De nuevo, esto es equivalente a $$\sin y\ge\frac{y}{\sqrt{5/2}}\tag1$$ para $0\le y\le\frac\pi2$. Pero es bien conocido que $$\sin y\ge\frac{y}{\pi/2}\tag2$$ para $0\le y\le\frac\pi2$ (básicamente convexidad). Entonces (1) se sigue de (2) siempre que $\pi/2\le\sqrt{5/2}$, equivalente a $\pi^2\le10$. Usted puede verificar esto en su calculadora de bolsillo.