Mostrar que $\sum_{n=1} ^{\infty} \frac {1}{(x+n)^2} \leq \frac{2}{x} $

Question

Mostrar que $\displaystyle \sum_{n=1} ^{\infty} \frac {1}{(x+n)^2} \leq \frac{2}{x} $

Para cualquier número real x $\geq 1$, quiero mostrar el anterior

Muy oxidado en mi análisis, yo creo que es necesario hacer una prueba de comparación para demostrar que la serie converge, pero luego no sabe lo que después de que para obtener la desigualdad.

Answer 1

Deje $n\ge 1$ $x> 0$ tenemos $$\frac{1}{(x+n)^2}\le\frac{1}{(x+t)^2}\le\frac{1}{(x+n-1)^2}\qquad\text{for }n-1\le t\le n$$ Entonces \begin{align} \int_{n-1}^{n}\frac{1}{(x+n)^2}\,dt&\le \int_{n-1}^{n}\frac{1}{(x+t)^2}\,dt\\[6pt] \frac{1}{(x+n)^2}&\le\frac{1}{x+n-1}-\frac{1}{x+n}\\[6pt] \sum_{n=1}^N\frac{1}{(x+n)^2}&\le\frac{1}{x}-\frac{1}{x+N} \end{align} Entonces, como $N\to\infty$ tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(x+n)^2}\le\frac{1}{x}$$

Answer 2

El uso de $n\geq 1$ $$\frac{1}{(n+x)^2}\leq \frac{1}{(x+n-1)(x+n)}=\frac{1}{x+n-1}-\frac{1}{x+n}$$

Answer 3

Demasiado largo para un comentario:

Como un aparte, la serie se evalúa a $S(x)=\psi_1(x)-\dfrac1{x^2}:$ ver trigamma función. Para $x=0$, se ha $S(0)=\dfrac{\pi^2}6:$ ver Riemann $\zeta$ función para obtener más información. Y si el iterador habría comenzado a $-\infty$ en lugar de $1$, su valor habría sido $\bigg[\dfrac\pi{\sin(\pi x)}\bigg]^2$, que puede ser mostrado por dos veces diferenciar el logaritmo natural de Euler reflexión de la fórmula para la $\Gamma$ función.

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$($Cuando estudié análisis en la universidad, nadie nos dijo que la "historia" o el significado detrás de las diversas series presentadas durante las horas de clase, o se mencionó en la sección de ejercicios. Espero que esta información le resulte interesante, y que va a enriquecer su experiencia de aprendizaje$)$.

Answer 4

Sugerencia : como x >=1, $(x+n)^2>n^2$ y usted sabe el resultado de $\sum{1/n^2}$