¿Cómo puede justificarse esto?

Question

Es bien conocido el problema sin resolver respecto a Àpery constante $\zeta(3)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ (ver este sitio o [1] por ejemplo). Los siguientes cálculos se pueden visualizar con el propósito de encontrar qué pasos podrían ser errores, o que mejoras se le pueden hacer (si, opcionalmente, la respuesta b) de la pregunta), bien con el objetivo de actualizar mi las matemáticas con temas interesantes y fáciles de hechos. Por lo tanto puede tener errores, pero también tengo la oportunidad de aprender.

Tenemos las siguientes

Hecho. Para cada entero $n\geq 0$, $(n+1)^3=(n+1)^{3/2}\cdot((n+1)^{3/2}-1+1)$.

Así por Tonelli (si se justifica) $$\int_0^1\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{(n+1)^{3/2}-1}}{(n+1)^{3/2}}dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1)^{3/2}}\cdot \Big(\frac{x^{(n+1)^{3/2}}}{(n+1)^{3/2}}\Big|_0^1=\zeta(3),$$ y hay convergencia de esta serie función de la demanda (si es que no está mal) que $$LHS=\int_0^1\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n+1)^{3/2}}}{(n+1)^{3/2}}dx.$$

Puesto que estos cálculos son muy fáciles de escribir, sospecho que o no hay convergencia, o no son útiles debido a que es difícil calcular $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{(n+1)^{3/2}}}{(n+1)^{3/2}}$$0\leq x\leq 1$.

Mi pregunta es ( I elija la respuesta más útil para esta comunidad por más de una) de este)

Pregunta. a) Una prueba de verificación de los anteriores cálculos y la reclamación es necesaria y apreciada (es válido el uso de Tonelli del teorema?, hay convergencia para $f(x)$?). b) Opcionalmente, son bienvenidas las sugerencias, referencias, si este ejercicio es fácil y conocido, o si puede reclamar propiedades de $f(x)$. Entonces aprendo a partir de sus cálculos. Gracias de antemano.

**Estoy buscando una respuesta útil para: a) de las preguntas anteriores. Si es posible calcular LHS (si quieres dejar algún comentario útil para b), podemos aprender de usted). Me gustaría una respuesta con los detalles del uso del teorema de Tonelli, ¿qué hipótesis usted necesita para probar y si es posible la declaración de Tonelli que usted está usando. También los detalles acerca de la convergencia, para reclamar $LHS$ como he escrito y $f(x)$, si es que rigth.

Referencias:

[1] Wikipedia, Àpery constante https://en.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%A9ry%27s_constant

Answer 1

Todo lo que necesitamos para aplicar correctamente Tonelli del teorema es que $f_n(x) = \frac{x^{n^{3/2}-1}}{n^{3/2}} \geq 0$ todos los $x\in[0,1]$ más necesitamos $f_n(x)$ a ser integrable. Este es el caso aquí, de modo que sus cálculos están justificadas y se le permite escribir

$$\int_0^1\sum_{n=1}^\infty f_n(x){\rm d}x = \sum_{n=1}^\infty\int_0^1 f_n(x){\rm d}x = \zeta(3)$$

Para una buena discusión sobre cuando usted puede intercambiar sumas e integrales ver este MSE respuesta.

La convergencia uniforme de la serie de $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3/2}}{n^{3/2}}$ $[0,1]$ sigue por Weierstass M-prueba desde $f_n(x) \leq \frac{1}{n^{3/2}}$ todos los $x\in[0,1]$ y la serie de $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ converge (por ejemplo, la integral de la prueba)

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No sé cómo contestar a tu otra pregunta, pero es difícil ver una razón por la cual el estudio de $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n^{3/2}-1}}{n^{3/2}}$ le ayudará a entender las propiedades (por ejemplo, la irracionalidad; trancendental la naturaleza; o, simplemente, la estimación de la suma) de $\zeta(3)$ mejor que simplemente trabajar con algunas de las otras representaciones como $\zeta(3) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}$ o $\zeta(3) = \frac{5}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3{2n\choose n}}$ como se utiliza en Apéry de la prueba.