Hace de "máxima submódulo <=> simple cociente módulo de" generalizar a abelian categorías?

Question

¿La declaración "Si $A$, $B$ son módulos sobre un anillo conmutativo $R$, $B$ es la máxima submódulo de $A$ si y sólo si $A/B$ es un simple módulo de" generalizar a la configuración de abelian categorías? Es decir, ¿es correcto decir "Si C es un abelian categoría y $A, B \in$ C, a continuación, $B$ es la máxima subobjeto de $A$ si y sólo si $A/B$ es un simple objeto?"

Mi corazonada es que esta afirmación no generalizar, ya que he visto que se declaró que el Jordán-Titular teorema de abelian categorías es un "simple generalización" de la versión de los módulos (en este hecho se utiliza), pero he tenido un montón de problemas para encontrar cualquier cosa en la máxima subobjetos en todo y no he averiguado los detalles aún.

Answer 1

Un intento (todo lo que sucede en el interior de abelian categorías aquí y lo siento por no ser capaz de dibujar diagramas conmutativos con el nombre de flechas):

$\textbf{Definition:}$ Un monomorphism $\iota: B \rightarrow A$ es llamado un máximo de subobjeto de $A$ si $\iota$ no es un isomorfismo y la existencia de dos monomorphisms $B \rightarrow B'$ $B' \rightarrow A$ sentado en un diagrama conmutativo con $\iota$ implica que uno de ellos es un isomorfismo.

$\textbf{Definition:}$ Un objeto $S$ se llama simple si $0 \rightarrow S$ es la máxima subobbject de $S$.

$\textbf{Proposition:}$ Deje $\iota: B \rightarrow A$ ser una de morfismos con cokernel $\pi: A \rightarrow S$. Si $\iota$ es la máxima subobjeto de $A$, $S$ es simple.
Prueba. Tenga en cuenta que desde $\iota$ no es un isomorfismo, tenemos $S \neq 0$, por lo que tenemos la no trivialidad de la condición. Deje $\alpha: T \rightarrow S$ ser un monomorphism. Queremos mostrar que cualquiera de las $\alpha = 0$ o $\alpha$ es un isomorfismo. Forma el pull-back a lo largo de $\alpha$$\pi$, con el paralelo flechas $\alpha$$\pi$$\alpha':P \rightarrow A$$\pi': P \rightarrow T$, respectivamente.
En primer lugar, $\alpha'$ es un monomorphism desde pull-backs de preservar los núcleos.
Segundo, dado que la $\pi$ es un epimorphism, el pull-back de la plaza es también un empuje; por lo tanto $\pi'$ es un epimorphism.
Tercero, debido a que $\iota$ es un monomorphism, es un kernel, por lo tanto, un núcleo de su cokernel $\pi$. De nuevo desde el pull-backs de preservar kernels, hay un morfismos $\iota' : B \rightarrow P$ que es un núcleo de $\pi'$ y hace que el correspondiente triángulo conmutar ($\alpha' \circ \iota' = \iota$).
Ahora, desde la $\iota$ es la máxima subobjeto, hay dos posibilidades: o $\iota'$ o $\alpha'$ es un isomorfismo. El ex rendimientos $$\alpha \circ \pi' = \pi \circ \alpha' = \pi \circ \iota \circ (\iota')^{-1} = 0$$ hence $\alfa = 0$ as $\pi'$ is an epimorphism. And the latter yields that $\alpha$ is an isomorphism since $\alpha$ and $\alpha$ son paralelas en un empuje de la plaza.

Yo no lo he probado pero creo que a la inversa declaración puede ser demostrado de manera similar.