Explicación intuitiva de por qué $\left(1-\frac1n\right)^n \to \frac1e$

Question

Sé que $e$, la base de los logaritmos naturales, se puede definir como:

$$e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Recientemente, descubrí que

$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}$$

¿Cómo es posible eso? Seguramente el signo negativo no hace diferencia, ya que cuando $n$ es grande, $\frac{1}{n}$ es muy pequeño?

No estoy buscando solo un método riguroso para demostrar esto. Me han dicho uno: a medida que $n$ tiende a infinito, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = 1$, por lo que el segundo límite debe ser el recíproco de $e$. Sin embargo, sigo sin entender por qué cambiar un componente tan pequeño del límite cambia tanto el resultado. ¿Alguien tiene una explicación remotamente intuitiva de este concepto?

Answer 1

La cuestión es que $1-\frac{1}{n}$ es menor que $1$, por lo que elevarlo a una gran potencia lo hará aún menos que $1$. Por otro lado, $1+\frac{1}{n}$ es mayor que $1$, por lo que elevarlo a una gran potencia lo hará incluso mayor que $1.

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Ha habido cierto revuelo en los comentarios sobre esta respuesta. Probablemente debería añadir que $(1-\epsilon(n))^n$ podría llegar a cualquier valor menor o igual que $1$, y en particular podría llegar a $1$, a medida que $n$ aumenta. Sucede que en este ejemplo, llega a algo menor que $1$. La razón por la que llega a algo menor que $1 es porque terminamos elevando algo lo suficientemente menor que $1 a una potencia suficientemente alta.

Answer 2

Tal vez piense en las expansiones binomiales de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ y $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$. Los dos primeros términos son $1 + n \frac{1}{n}$ y $1 - n \frac{1}{n}$ respectivamente. Y después de eso, los términos en $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ son todos positivos, mientras que los términos en $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ son alternados. Así que la diferencia entre los dos límites va a ser al menos 2.

Answer 3

El verdadero problema no es por qué cambiar el signo tiene tanto impacto, sino por qué agregar una cantidad tan pequeña como $\dfrac1n$ cambia drásticamente el resultado.

$$1^n\to1\text{ vs. }\left(1+\frac1n\right)^n\to e$$

(y de manera muy similar $\left(1-\frac1n\right)^n\to e^{-1}$.)

La razón es que la pequeña cantidad se multiplica una y otra vez de manera que se convierte en una cantidad finita,

$$\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac1n\right)\cdots=1+\frac1n+\frac1n+\frac1n+\cdots>2$$ ya que hay $n$ términos de $\dfrac1n$ (y aún otros). La "pequeñez" de los términos es bien compensada por la cantidad de términos.

También observe que la "asimetría" mostrada por $e-1\ne 1-e^{-1}$ se debe simplemente a la no linealidad del exponencial.

Answer 4

De hecho, tienes la afirmación verdadera más fuerte de que $$ \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e, $$ de la cual el límite inicial que mencionaste es un caso especial, acercándose a $0$ a través de la secuencia de valores $x=\frac1n$ para $n\in\Bbb N_{>0}$. Pero si te acercas a $0$ a través de la secuencia de valores $x=-\frac1n$ para $n\in\Bbb N_{>1}$, el mismo límite te da $$ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^{-n}=e. $$ Ahora es fácil ver que la secuencia de inversos $\left(1-\frac1n\right)^n$ tiende al valor inverso $e^{-1}$.

Cabe señalar que mientras que el primer límite arriba es más general que los límites para $n\to\infty$, también es menos elemental de definir, ya que involucra potencias de números reales positivos con exponentes reales arbitrarios. Introducir tales potencias requiere estudiar funciones exponenciales en primer lugar, por lo que la afirmación del límite con exponentes enteros suele ser preferida. Pero la afirmación del límite más general es verdadera y puede servir para dar intuición sobre la relación entre los dos límites en tu pregunta.

Answer 5

Aquí hay una generalización útil de la definición de límite de $e$ del mensaje original:

Dado

$$e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Elevar ambos lados a la potencia de $x$:

$$e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}$$

Esto es trivialmente cierto cuando $x = 0$, ya que ambos lados se evalúan en 1

Supongamos que $x \ne 0$ y sea $m = nx$, es decir, $n = \frac{m}{x}$

A medida que $n\to\infty, \, m\to\infty$

$$e^x = \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}$$

[Observa la similitud entre esto y el primer límite en la respuesta de Marc van Leeuwen].

En particular, para $x = -1$

$$e^{-1} = \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{-1}{m}\right)^{m}$$

o

$$e^{-1} = \lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m}$$

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Como señala mathmandan en los comentarios, mi derivación es incorrecta cuando $x < 0$, ya que entonces $n\to\infty \implies m\to -\infty$ :oops:

Intentaré justificar mi resultado para $x$ negativo sin depender del hecho de que $e^x$ es una función entera y que solo hay un infinito en el plano complejo (extendido).

Para cualquier $u, v \ge 0$ finitos, tenemos

$$e^u = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{u}{n}\right)^{n}$$

y

$$e^v = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{v}{n}\right)^{n}$$

Por lo tanto,

$$e^{u-v} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\frac{u}{n}}{1+\frac{v}{n}}\right)^{n}$$

Sea $m = n + v$. Para cualquier $v$ (finito) a medida que $n\to\infty, \, m\to\infty$.

$$\begin{align}\\ \frac{1+\frac{u}{n}}{1+\frac{v}{n}} & = \frac{n + u}{n + v}\\ & = \frac{m + u - v}{m}\\ & = 1 + \frac{u - v}{m}\\ \end{align}$$

Así que $$\begin{align}\\ e^{u-v} & = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{u - v}{m}\right)^{n}\\ & = \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{u - v}{m}\right)^{m-v}\\ & = \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{u - v}{m}\right)^m \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{u - v}{m}\right)^{-v}\\ & = \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{u - v}{m}\right)^m\\ \end{align}$$

ya que

$$\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{u - v}{m}\right)^{-v} = 1$$

En otras palabras,

$$e^{u-v} = \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{u - v}{m}\right)^m$$

es válido para cualquier $u, v \ge 0$ finitos. Y dado que podemos escribir cualquier $x$ finito como $u-v$ con $u, v \ge 0$, hemos demostrado que

$$e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$$

es válido para cualquier $x$ finito, entonces

$$e^{-x} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{-x}{n}\right)^{n}$$
Y por lo tanto $$e^{-x} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}$$