En $\mathbb{R}^3$ si $v$ es ortogonal a $x$$y$, $x \times y$ es un escalar varios de $v$.

Question

Deje $x, y, v \in \mathbb{R}^3$. Si $v\neq0$ es ortogonal a $x$$y$, $x \times y$ es un escalar varios de $v$.

Podemos hacer $$v\times(x\times y)=(v\cdot y)x-(v\cdot x)y=0$$ so, by definition of cross product, $v$ and $x\times de$ y debe ser co-lineal.

Cómo puedo ver esto de una forma más geométrica manera?

Answer 1

Sugerencia: Siempre que $x$ $y$ no son paralelas, ¿cuál es la dimensión del espacio de los vectores ortogonales a ambos $x$$y$?

Answer 2

Si v es ortogonal a x e y, entonces, por definición:

$$ \vec v\cdot \vec x =0 $$ $$ \vec v\cdot \vec y = 0$$

Ahora, por definición, $ x \times y$ es ortogonal a x e y. Por supuesto, usted puede demostrar que esto es cierto, si se permite que algunos de los nuevos vectores $\vec q = \vec x\times \vec y$, a continuación, mostrar que:

$$ \vec q\cdot \vec x = 0 $$ $$ \vec q\cdot \vec y = 0 $$

Ahora, equiparando las correspondientes ecuaciones, podemos ver que si se introduce un nuevo parámetro t, lo que tenemos:

$$ \vec v\cdot \vec x + t \left( \vec q\cdot \vec x\right) = 0$$

Y por distributividad podemos tener:

$$ \left( \vec v + t \vec q\right) \cdot \vec x = 0$$

Así, hemos demostrado que:

$$ \vec v = -t \vec q $$

por lo $\vec v$ es un escalar varios de $\vec q $