Encontrar el área por la gráfica mediante las ecuaciones paramétricas.

Question

Sé encontrar las gráficas de una ecuación utilizando la integración. Por ejemplo:

El área de $f(x)=x^2$ de $x=1$ a $x=2$ es $\int^2_1 x^2dx$ .

¿Es posible encontrar el área de las ecuaciones paramétricas, pero cómo lo hacemos?

Por ejemplo, cómo podría encontrar el área dada por las ecuaciones paramétricas:

$$y=\sin(t^2),\ x=\sin(t)?$$

Gracias.

Answer 1

Si su curva era cerrada y periódica, puede utilizar coordenadas polares: $$r(\theta)=\sqrt{\sin^2(\theta)+\sin^2(\theta^2)}$$ Así que el área viene dada por la integral: $$A = \int_0^{2\pi} r(\theta) r dr d\theta$$ En su caso, como señaló Kaster, $r(\theta)$ no es de valor único, lo que complica bastante las cosas. De hecho, la curva no se repite, ya que nunca volverá a $t = 0$ . Si lo hiciera, entonces tendrías $t = m\pi$ y $t^2 = n\pi$ que llevaría a $\pi$ siendo racionales. Así, para su ejemplo, el área sólo está definida para pequeños segmentos de $t$ .

Answer 2

Sugerencia :

dejar $x=f(t)$ y $y= g(t)$ entonces el área de las ecuaciones paramétricas es igual a : $$A=\int g(t) f '(t) dt$$

Prueba :dejar $y=S(x)$ y $a\le x \le b$ entonces $$ A=\int_a^b S(x)dx=\int_c^d S(f(t))d(f(t))=\int_c^d g(t)f '(t)dt$$ tal que $c=f(a)$ y $d=f(b$ )

para más detalles ver aquí

$$\int_{a}^{b}\cos(t)sin^2(t)dt=\int_{\sin(a)}^{\sin(b)} u^2du=\frac{(\sin(b))^3}{3}-\frac{(\sin(a))^3}{3}$$