Se desea probar la serie para la convergencia/divergencia de $\sum_n \frac{\sqrt{n+1} - 1}{(n+2)^3 - 1} $

Question

Se desea probar la serie $$\frac{\sqrt{2} - 1}{3^3 - 1} + \frac{\sqrt{3} - 1}{4^3 - 1} + \frac{\sqrt{4} - 1}{5^3 - 1} + \cdots$$ de convergencia/divergencia.

Mi intento es

$U_n =\frac{\sqrt{n+1} - 1}{(n+2)^3 - 1} $ Ahora deseo encontrar a$V_n $, que es menor (o mayor que $U_n $) de tal forma que su convergencia/divergencia se sabe lo que puede encontrar en el comportamiento de $U_n $

Answer 1

Sugerencia: $\sqrt{n+1}-1\sim\sqrt n$ $(n+2)^3-1\sim n^3$ (al $n\to +\infty$). Desde que la serie no en términos negativos, sólo tenemos que lidiar con la convergencia de las $\sum\limits_{n\geq 1}\frac{\sqrt n}{n^3}$.

Answer 2

Aquí, $\frac{\sqrt{n+1}-1}{(n+2)^3-1} \leq \frac{1}{n^2}$. Para n=1, es cierto, y entonces el denominador de la serie aumenta más rápidamente que en el numerador y esta tasa es mayor que la tasa en $1/n^2$, por lo que el dado de la serie está limitada por $1/n^2$ y, por tanto,$\sum_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-1}{(n+2)^3-1} \leq (\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\pi^2/6)$. Por lo tanto la serie converge.