Diferenciable discontinuo y uno a uno

Question

Si la derivada de una función (de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) en un punto $x_0$ es discontinua, ¿implica eso que la función no es uno a uno o inyectiva en una vecindad de $x_0$ ?

Si no es así, ¿cómo se demuestra que la función no es inyectiva en $x_0$ dado que la derivada de la función es discontinua en $x_0$ .

Mis pensamientos: Como la derivada de la función no es siempre positiva ni negativa, entonces la función no es inyectiva porque no es siempre decreciente ni siempre creciente. ¿Suena bien?

Answer 1

No, dicha función puede seguir siendo unívoca en una vecindad de $x_0$ .

Para ver esto, se parte del ejemplo habitual de una función diferenciable con derivada discontinua, es decir $f(0) := 0$ y

$$ f(x) := x^2 \cdot \sin(1/x) \text{ for } x\neq 0 . $$

No es difícil ver que $f$ tiene derivación $0$ en $0$ . Lejos del origen, la derivada viene dada por

$$ f'(x) = 2x \cdot \sin(1/x) + x^2 \cdot \cos(1/x) \cdot (-1/x^2) = 2x \cdot \sin(1/x) - \cos(1/x). $$

Observe que $f'$ está acotado en todo conjunto acotado En particular, en $(-1,1)$ (por ejemplo $|f'(x)| \leq 3$ en este intervalo).

Por lo tanto, si establecemos $g(x) := 1000 \cdot x + f(x)$ entonces $g'(x) = 1000 + f'(x) > 0$ en $(-1,1)$ para que $g$ es uno a uno en $(-1,1)$ pero $g'$ no es continua en $0$ (por lo demás $f' = g' - 1000$ sería continua).

EDIT: Modificando este ejemplo (truncando $f$ suavemente para tener un soporte compacto), uno puede incluso construir tal función con la propiedad de que $g : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ es una biyección (homeomorfismo).