¿Por qué es adecuada la división sub-anillo de $\mathbb{H}$ contenida en el centro de la $Z(\mathbb{H})$?

Question

Aquí es una idea que he estado trabajando para el auto estudio.

Supongamos $S$ es una división sub-anillo de $\mathbb{H}$ (los cuaterniones, visto como un sub-anillo de $M_2(\mathbb{C})$), que se estabiliza en los mapas $x\mapsto dxd^{-1}$ todos los $d\neq 0$$\mathbb{H}$. A continuación, cualquiera de $S=\mathbb{H}$ o $S$ está contenida en el centro.

Supongo que $S\neq\mathbb{H}$. Yo defino $\varphi_d\colon S\to S$ a ser la conjugación de mapa de $x\mapsto dxd^{-1}$. Evidentemente, me parece que cada una de las $\varphi_d$ es un bijection en $S$, como es inyectiva, y por cualquier $y\in S$, $d^{-1}yd\in S$ y la deseada es la preimagen de $\varphi_d$.

También demostró que el $Z(\mathbb{H})=\mathbb{R}$. No sé cómo mostrar $S\subset Z(\mathbb{H})$ al $S\neq\mathbb{H}$. Quiero mostrar a $\varphi_d=\mathrm{id}_S$ todos los $d\neq 0$$\mathbb{H}$, pero no sé cómo probar que. ¿Alguien tiene alguna pista o sugerencias sobre qué hacer?

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Supongo que $S$ contiene al menos un elemento imaginario $ai+bj+ck$. La conjugación de por $i$ muestra $ai-bj-ck\in S$, lo $2ai\in S$. Del mismo modo, $2bj,2ck\in S$. Es posible que la escala de estos para cualquier coeficiente real a la conclusión de que la $S$ contiene todos los imaginarios?

Answer 1

Tome $a\in\mathbb{H}\setminus S$, y tome $s\in S^*$. Yo reclamo que el colector $[s,a]=sas^{-1}a^{-1}=1$.

Observe que $a$ es invertible, como es distinto de cero, y desde $a\neq -1$, $a+1\neq 0$, y es por lo tanto invertible, también. Por lo $[s,a]$ $[s,a+1]$ existen.

Desde $S$ es cerrado bajo la conjugación, se deduce que el $[s,a],[s,a+1]\in S^*$. Rápido cálculo muestra $$ [s,a+1](a+1)=[s,a]un+1 $$ lo que implica $$ ([s,a+1]-[s,a])=1-[s,a+1]. $$ Si $[s,a+1]\neq[s,a]$, $([s,a+1]-[s,a])^{-1}$ existe y está en $S$, por lo que $$ a=([s,a+1]-[s,un])^{-1}(1-[s,a+1])\S, $$ una contradicción ya que el $a\in\mathbb{H}\setminus S$. Así que, necesariamente,$[s,a+1]=[s,a]$, lo que simplifica implicar $[s,a]=1$ o $sa=as$. Así, cada elemento de a $S^*$ conmutan con todos los elementos de a $\mathbb{H}\setminus S$. No tome ninguna $s,t\in S^*$, entonces si $a\in\mathbb{H}\setminus S$, $a+t\in\mathbb{H}\setminus S$. Entonces $$ st=s(a+t-a)=s(a+t)-sa=(a+t)s=ts $$ donde usamos el hecho de que $s$ viajes con $a+t$ $a$ como se encuentra. Así que cada elemento de a $S^*$ también conmutan con todos los elementos de a $S^*$. Todo lo que todavía funciona cuando se considera $0$, por lo que se deduce que el $S\subset Z(\mathbb{H})$.

Tenga en cuenta que nada inherentemente especial acerca de los cuaterniones se utiliza aquí, excepto que $\mathbb{H}$ es un anillo de división, por lo que este resultado se cumple para cualquier división sub-anillo de una división de anillo, que es cerrado bajo la conjugación de la overring.

Answer 2

Después de trabajar en ella con un amigo por un tiempo, nos encontramos con una prueba. Al buscar la respuesta, nos dimos cuenta de que había reproducido las ideas de Brauer de la prueba.

Deje $S\subseteq D$ ser un anillo de división de extensión de la con $S\neq D$, y supongamos que $xSx^{-1}\subseteq S$ por cada valor distinto de cero $x\in D$. Vamos a mostrar que el $S$ es central en $D$.

Lema 1: Si $x\in D\setminus S$$s\in S$, $x$ viajes con $s$.

Prueba: Desde $S$ es aditiva cerrado y $1\in S$, nos encontramos con que $x+1\notin S$.

Set $t=xsx^{-1}-(x+1)s(x+1)^{-1}\in S$ y calcular que: $$ t(x+1)=xsx^{-1}-s\in S $$

Tenga en cuenta que si $t$ fueron distinto de cero, entonces a $t(x+1)\in S$ implicaría que $(x+1)\in S$, por lo que debe ser ese $t=0$. Por lo tanto, $xsx^{-1}-s=0$, y después de la reorganización, $x$ viajes con $s$.

Lema 2: Si todos los elementos de a $S$ conmutan con todos los elementos fuera de$S$, $S$ es conmutativa.

Prueba: Dado $x\in D\setminus S$, e $s,t\in S$:

$$ xst=(xs)t=t(xs)=(tx)s=(xt)s=xts $$ La cancelación de $x$ a la izquierda, $st=ts$.

Por lo tanto, todo lo $S$ viajes con todo lo en $D$, es decir, $S$ es central.