Dadas dos variedades algebraicas $X$ y $Y$ . Es cierto que $H^{BM}_n(X\times Y) \cong \bigoplus_{i+j=n} H^{BM}_i (X)\otimes_\mathbb{Q} H^{BM}_i(Y)$ .
Creo que la prueba es similar a la de la homología singular. Alguien conoce una posible referencia para esta fórmula en homología de Borel-Moore?
En primer lugar, ¿no se define la homología de Borel-Moore para los múltiples, no para las variedades (es decir, se utiliza la estructura analítica, que no está disponible en una variedad algebraica a menos que se realice algún tipo de analización). Pero con esta salvedad: la Homología de Borel-Mooore coincide con la homología singular para espacios compactos, así que en particular la Fórmula de Kunneth que has escrito debe cumplirse cuando la variedad es compacta. Ahora bien, como la homología de Borel-Moore está definida en el entorno localmente compacto, podemos extenderla al caso general por encolado.
Cuando me han definido la homología BM en el pasado, siempre ha sido simplemente la homología singular relativa del par $(\bar{X},\bar{X}\setminus X)$ donde $\bar{X}$ es la compactificación en un punto de $X$ . Que yo sepa, no es necesaria ninguna condición analítica, sólo la compacidad local.
Eso es precisamente lo que quiero decir: la compactificación de un punto es aproximadamente un procedimiento "analítico", porque no presenta $\overline{X}$ como una variedad - sólo como un conjunto con una topología (potencialmente no-Zariski). Se podría tomar $\overline{X}$ sea la compactificación suave de $X$ en cuyo caso se necesita un conjunto diferente de hipótesis sobre $X$ (por ejemplo, el campo base debe ser perfecto para garantizar la unicidad), pero en cualquier caso la compacidad local no desempeña ningún papel en la compactificación suave.
Perdón sí, estaba pensando en la compacidad local sólo porque preserva Hausdorff bajo compactificación (pero eso no importa aquí de todos modos). Lo que quería decir es que no es necesario hacer ninguna salvedad. La homología singular está definida para cualquier espacio topológico y también lo está la homología BM, incluso si la compactificación no es una variedad.
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