Cuando un divisor en una curva algebraica es canónico

Question

Estoy tratando de resolver esto:

Si $D$ es un divisor de a través de una curva algebraica X de género $g$ tal que $\deg(D)=2g-2$ $\dim L(D)=g$ , $D$ es un divisor canónico

El uso de Riemann-Roch teorema, se $K$ un divisor canónico sobre $X$, tengo:

$$ \begin{array}{l} \dim L(D)-\dim L(K-D)=\deg(D)+1-g\\ \dim(K-D)=1 \end{array} $$

Por Serre de la dualidad, $$ \dim L(K-D)=\dim L^{(1)}(-D)=1 $$

Esto significa que sólo existe una 1-forma $\omega \in L^{(1)}(-D)$ tal que $ord_p(\omega)\geq D(p)$, para todos los $p\in X$.

No sé cómo terminar esto. Alguien me puede ayudar? Gracias de antemano.

Answer 1

Ustedes han demostrado con éxito que $h^1(O_X(D))=1,$ es decir, que $h^0(\mathcal O_X(K-D)) = 1.$ Ahora trate de Riemann-Roch de nuevo: $$h^0(\mathcal O_X(K-D))-h^1(\mathcal O_X(K-D))=\deg(K-D)+1-g,$$ and using that $h^1(\mathcal O_X(K-D))=h^0(\mathcal O_X(D))$ we get that $\grados(K-D)=0.$

Ahora aplicar Hartshorne Lema IV.1.2, lo que da $K-D\sim 0,$ es decir, $K\sim D.$