Puede un tetraedro acostado completamente dentro de otro tetraedro tiene una mayor suma de borde longitudes?

Question

Encontrar 2 tetraedros $ABCD$ $EFGH$ tal que

• $EFGH$ se encuentra completamente dentro de $ABCD$.

• La suma de las longitudes de los bordes $EFGH$ es estrictamente mayor que la suma de las longitudes de los bordes $ABCD$.

Estoy completamente confundido en esto. Parece contra intuitivo para comenzar. Ahora tengo dudas de si existe una solución o no.

Fuente : Aquí

Answer 1

Una aguja es un tetraedro con una pequeña cara y tres bordes largos. Una astilla es un tetraedro, con dos pequeñas bordes opuestos y cuatro bordes largos.

^{De Cheng et al., "Astilla Exudación", Proc. J. ACM, 2000.}

Tomar un chapitel de la altura de la $1$ y ajuste una astilla en su interior. La suma de las longitudes de los bordes de la aguja es $\approx 3$ mientras que la de la astilla es $\approx 4$.

Answer 2

$$A=(0,0,0), \;B = (1,0,0),\;C=(1,1,0) ,\;D=(-1,0,1)$$

$$E =(1,1-\epsilon,0),\; F = (1-\epsilon,0,\epsilon/2),\; G = (-1+\epsilon,0,1-\epsilon/2) ,\;H = (-1+\epsilon,\epsilon/2,1-\epsilon/2)$$

Deje $\epsilon = 0.01$, la suma de la longitud de la arista de $ABCD$: $$ |AB|+|CA|+|AD|+|BC|+|BD|+|CD| = 2+2\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{6}\approx 9.51. $$

la suma de la longitud de la arista de $EFGH$: $$ |EF|+|EG|+|EH|+|FG|+|FH|+|GH| \aprox 10.3. $$

Aproximadamente el siguiente aspecto:

Usted puede perturbar $EFGH$ por ajuste completamente dentro de $ABCD$, mediante la adición de otro parámetro $\delta\ll 1$, mientras que tener la suma de borde longitudes de cambiar por $O(\delta)$.

La historia de esta construcción es que: Si $ABCD$ tiene tres bordes largos, podemos hacer $EFGH$ tener cuatro bordes largos.

Answer 3

Creo que de un tetraedro compuesto de $(-k,0,0), (-k,\epsilon,0), (0,\epsilon,0), (0,0,k)$ donde $k$ es grande y $\epsilon \ll 1$ puede mover $(0,\epsilon,0)$ a la derecha (y un poco) y aumentar la suma de los lados. A continuación, puede mover todos los puntos hacia adentro por $\epsilon^2$ para obtener estrictamente en el interior.